ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1581 Алимов — Подробные Ответы

1. y=2/(x-1)(x-3);
2. y=1/cosx;
3. y=1/lnx.

1) $y = \frac{2}{(x-1)(x-3)} = \frac{2}{x^2 — 3x — x + 3} = \frac{2}{x^2 — 4x + 3}$

Область определения функции:

$$x — 1 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 1;$$ $$x — 3 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 3;$$ $$D(x) = (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty);$$

Производная функции:

$$f'(x) = 2 \cdot (x^2 — 4x + 3)^{-1′};$$ $$f'(x) = 2 \cdot (2x — 4) \cdot (-1) \cdot (x^2 — 4x + 3)^{-2};$$ $$f'(x) = \frac{-2(2x — 4)}{(x^2 — 4x + 3)^2} = \frac{8 — 4x}{(x^2 — 4x + 3)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$8 — 4x > 0;$$ $$2 — x > 0;$$ $$x < 2;$$

Стационарные точки:

$$x = 2 \text{ — точка максимума};$$ $$y(2) = \frac{2}{(2-1)(2-3)} = \frac{2}{1 \cdot (-1)} = -2;$$

Предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 — 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}}{1 — \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1 — 0 + 0} = 0;$$

График функции:

2) $y = \frac{1}{\cos x}$

Область определения функции:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (\cos x)^{-1′} = (-1) \cdot (-\sin x) \cdot (\cos x)^{-2} = \frac{\sin x}{\cos^2 x};$$

Промежуток возрастания:

$$\sin x > 0;$$ $$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$$

Стационарные точки:

$$x = \pi + 2\pi n \text{ — точки максимума};$$ $$x = 2\pi n \text{ — точки минимума};$$

Максимум и минимум функции:

$$y(\pi + 2\pi n) = \frac{1}{\cos(\pi + 2\pi n)} = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1;$$ $$y(2\pi n) = \frac{1}{\cos(2\pi n)} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1;$$

График функции:

3) $y = \frac{1}{\ln x}$

Область определения функции:

$$x > 0;$$ $$\ln x \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 1;$$ $$D(x) = (0; 1) \cup (1; +\infty);$$

Производная функции:

$$y'(x) = (\ln x)^{-1′} = (-1) \cdot \frac{1}{x} \cdot (\ln x)^{-2} = -\frac{1}{x \ln^2 x};$$

Промежуток убывания:

$$-x < 0, \text{ отсюда } x > 0;$$

Предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln x} = 0;$$

Функция отрицательна при:

$$\frac{1}{\ln x} < 0;$$ $$\ln x < 0;$$ $$x<1$$

График функции:

$$$$График функции:График функции:График функции:x < 1;

1) $y = \frac{2}{(x-1)(x-3)} = \frac{2}{x^2 — 3x — x + 3} = \frac{2}{x^2 — 4x + 3}$

Область определения функции:

Для функции с дробями важно, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Рассмотрим знаменатель $(x-1)(x-3)$.

$$(x — 1) \neq 0 \quad \text{и} \quad (x — 3) \neq 0$$

Таким образом, $x \neq 1$ и $x \neq 3$. Поэтому область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$$

Производная функции:

Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования дроби. Пусть $f(x) = \frac{2}{(x — 1)(x — 3)}$.

Для этого используем цепное правило и правило частного:

$$f'(x) = \frac{0 \cdot (x — 1)(x — 3) — 2 \cdot \frac{d}{dx}[(x — 1)(x — 3)]}{[(x — 1)(x — 3)]^2}$$

Теперь найдём производную выражения в числителе:

$$\frac{d}{dx}[(x — 1)(x — 3)] = \frac{d}{dx}[x^2 — 4x + 3] = 2x — 4$$

Подставим это в выражение для производной:

$$f'(x) = \frac{-2(2x — 4)}{(x^2 — 4x + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{8 — 4x}{(x^2 — 4x + 3)^2}$$

Промежуток возрастания:

Покажем, при каких значениях $x$ производная положительна.

Для этого решим неравенство $8 — 4x > 0$:

$$8 > 4x \quad \Rightarrow \quad x < 2$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$ и убывает на промежутке $(2; +\infty)$.

Стационарные точки:

Стационарные точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю. Решим:

$$8 — 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Таким образом, $x = 2$ — это точка экстремума.

Для $x = 2$:

$$y(2) = \frac{2}{(2 — 1)(2 — 3)} = \frac{2}{1 \cdot (-1)} = -2$$

Итак, точка $(2, -2)$ — это точка максимума.

Предел функции:

Предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 — 4x + 3}$$

Для $x \to \infty$, $x^2$ доминирует над линейными и постоянными членами, поэтому:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 — 4x + 3} = 0$$

Таким образом, предел функции при $x \to \infty$ равен 0.

2) $y = \frac{1}{\cos x}$

Область определения функции:

Для функции $y = \frac{1}{\cos x}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому $\cos x \neq 0$.

Решим:

$$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, функция не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число. Область определения функции:

$$D(x) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + n\pi \right\}$$

Производная функции:

Производная функции $y = \frac{1}{\cos x}$ используется по правилу дифференцирования дроби:

$$y'(x) = \frac{-\sin x}{\cos^2 x}$$

Промежуток возрастания:

Для того чтобы функция возрастала, необходимо, чтобы числитель производной $\sin x$ был положительным, то есть $\sin x > 0$.

Решим:

$$\sin x > 0 \quad \Rightarrow \quad 0 < x < \pi \quad (\text{период от } 2n\pi \text{ до } (2n+1)\pi)$$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(2n\pi, (2n+1)\pi)$.

Стационарные точки:

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Поскольку $\cos x$ имеет максимумы в точках $x = 2n\pi$ и минимумы в точках $x = (2n+1)\pi$, то:

• $x = 2n\pi$ — точки минимума,
• $x = (2n+1)\pi$ — точки максимума.

Максимум и минимум функции:

• Для точек максимума $x = (2n+1)\pi$, функция принимает значение $y = -1$,
• Для точек минимума $x = 2n\pi$, функция принимает значение $y = 1$.

3) $y = \frac{1}{\ln x}$

Область определения функции:

Для функции $y = \frac{1}{\ln x}$ важно, чтобы $\ln x \neq 0$ и $x > 0$.

1. $\ln x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1$,
2. $x > 0$.

Таким образом, область определения:

$$D(x) = (0; 1) \cup (1; +\infty)$$

Производная функции:

Производная функции $y = \frac{1}{\ln x}$ вычисляется через цепное правило:

$$y'(x) = -\frac{1}{x \ln^2 x}$$

Промежуток убывания:

Так как $y'(x) < 0$ при $x > 0$ (поскольку $\ln x > 0$ для $x > 1$ и $\ln x < 0$ для $0 < x < 1$), функция убывает на всех промежутках её области определения.

Предел функции:

Находим предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln x} = 0$$

Функция стремится к нулю при $x \to \infty$.

Функция отрицательна при:

Функция будет отрицательной, когда $\ln x < 0$, то есть:

$$x < 1$$

Таким образом, функция отрицательна при $0 < x < 1$.