ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 158 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (5-x) — корень (5+x) =2;
2. корень (12+x) — корень (1-x)=1;
3. корень (x-2) + корень (x+6)=0;
4. корень (x+7) + корень (x-2) = 9.

1)

$$\sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x} = 2;$$

$$(\sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x})^2 = 4;$$

$$5 — x — 2\sqrt{(5 — x)(5 + x)} + 5 + x = 4;$$

$$6 = 2\sqrt{25 — x^2};$$

$$3 = \sqrt{25 — x^2};$$

$$9 = 25 — x^2;$$

$$x^2 = 16;$$

$$x = \pm 4;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{5 — (-4)} — \sqrt{5 + 4} = \sqrt{5 + 4} — \sqrt{1} = \sqrt{9} — 1 = 3 — 1 = 2;$$

$$\sqrt{5 — 4} — \sqrt{5 + 4} = \sqrt{1} — \sqrt{9} = 1 — 3 = -2;$$

Ответ:

$x = -4$

.

2)

$$\sqrt{12 + x} — \sqrt{1 — x} = 1;$$

$$(\sqrt{12 + x} — \sqrt{1 — x})^2 = 1;$$

$$12 + x — 2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} + 1 — x = 1;$$

$$12 = 2\sqrt{12 — 12x + x — x^2};$$

$$6 = \sqrt{12 — 11x — x^2};$$

$$36 = 12 — 11x — x^2;$$

$$x^2 + 11x + 24 = 0;$$

$$D = 11^2 — 4 \cdot 24 = 121 — 96 = 25, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-11 — 5}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-11 + 5}{2} = -3;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{12 — 8} — \sqrt{1 — (-8)} = \sqrt{4} — \sqrt{1 + 8} = 2 — \sqrt{9} = 2 — 3 = -1;$$

$$\sqrt{12 — 3} — \sqrt{1 — (-3)} = \sqrt{9} — \sqrt{1 + 3} = \sqrt{9} — \sqrt{4} = 3 — 2 = 1;$$

Ответ:

$x = -3$

.

3)

$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x + 6} = 0;$$

Первое слагаемое:

$$x — 2 = 0;$$

$$x = 2;$$

Второе слагаемое:

$$x + 6 = 0;$$

$$x = -6;$$

Ответ: корней нет.

4)

$$\sqrt{x + 7} + \sqrt{x — 2} = 9;$$

$$(\sqrt{x + 7} + \sqrt{x — 2})^2 = 81;$$

$$x + 7 + 2\sqrt{(x + 7)(x — 2)} + x — 2 = 81;$$

$$2\sqrt{x^2 — 2x + 7x — 14} = 76 — 2x;$$

$$\sqrt{x^2 + 5x — 14} = 38 — x;$$

$$x^2 + 5x — 14 = (38 — x)^2;$$

$$x^2 + 5x — 14 = 1444 — 76x + x^2;$$

$$81x = 1458;$$

$$x = 18;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{18 + 7} + \sqrt{18 — 2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9;$$

Ответ:

$x = 18$

.

1)

$$\sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x} = 2;$$

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

Для того чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{5 — x} — \sqrt{5 + x})^2 = 2^2;$$

Раскрываем квадрат на левой части:

$$( \sqrt{5 — x} )^2 — 2 \cdot \sqrt{5 — x} \cdot \sqrt{5 + x} + ( \sqrt{5 + x} )^2 = 4;$$

Упрощаем:

$$(5 — x) + (5 + x) — 2\sqrt{(5 — x)(5 + x)} = 4;$$

$$10 — 2\sqrt{(5 — x)(5 + x)} = 4;$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри корня

Внутри корня у нас выражение вида разности квадратов:

$$(5 — x)(5 + x) = 25 — x^2;$$

Подставим это в уравнение:

$$10 — 2\sqrt{25 — x^2} = 4;$$

Шаг 3: Изолируем корень

Теперь изолируем корень на одной стороне:

$$2\sqrt{25 — x^2} = 10 — 4;$$

$$2\sqrt{25 — x^2} = 6;$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{25 — x^2} = 3;$$

Шаг 4: Возводим обе стороны в квадрат

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$25 — x^2 = 9;$$

Шаг 5: Решаем полученное уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$25 — 9 = x^2;$$

$$x^2 = 16;$$

Решаем это уравнение:

$$x = \pm 4;$$

Шаг 6: Проверка решений

Подставим

$x = -4$

в исходное уравнение:

$$\sqrt{5 — (-4)} — \sqrt{5 + 4} = \sqrt{5 + 4} — \sqrt{1} = \sqrt{9} — 1 = 3 — 1 = 2;$$

Подставим

$x = 4$

в исходное уравнение:

$$\sqrt{5 — 4} — \sqrt{5 + 4} = \sqrt{1} — \sqrt{9} = 1 — 3 = -2;$$

Так как

$x = 4$

не удовлетворяет исходному уравнению, оставляем только решение

$x = -4$

.

Ответ:

$x = -4$

.

2)

$$\sqrt{12 + x} — \sqrt{1 — x} = 1;$$

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{12 + x} — \sqrt{1 — x})^2 = 1^2;$$

Раскрываем квадрат на левой части:

$$(\sqrt{12 + x})^2 — 2 \cdot \sqrt{12 + x} \cdot \sqrt{1 — x} + (\sqrt{1 — x})^2 = 1;$$

Упрощаем:

$$12 + x — 2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} + 1 — x = 1;$$

$$13 + x — x — 2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} = 1;$$

Упростим:

$$13 — 2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} = 1;$$

Шаг 2: Изолируем корень

Теперь изолируем корень:

$$-2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} = 1 — 13;$$

$$-2\sqrt{(12 + x)(1 — x)} = -12;$$

Делим обе стороны на -2:

$$\sqrt{(12 + x)(1 — x)} = 6;$$

Шаг 3: Возводим обе стороны в квадрат

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(12 + x)(1 — x) = 36;$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

Раскрываем скобки:

$$12 — 12x + x — x^2 = 36;$$

Упрощаем:

$$12 — 11x — x^2 = 36;$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 11x + 24 = 0;$$

Шаг 5: Находим дискриминант

Находим дискриминант:

$$D = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 — 96 = 25;$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Используем формулу для нахождения корней:

$$x_1 = \frac{-11 — 5}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-11 + 5}{2} = -3;$$

Шаг 7: Проверка решений

Подставим

$x = -8$

в исходное уравнение:

$$\sqrt{12 — 8} — \sqrt{1 — (-8)} = \sqrt{4} — \sqrt{1 + 8} = 2 — \sqrt{9} = 2 — 3 = -1;$$

Подставим

$x = -3$

в исходное уравнение:

$$\sqrt{12 — 3} — \sqrt{1 — (-3)} = \sqrt{9} — \sqrt{1 + 3} = \sqrt{9} — \sqrt{4} = 3 — 2 = 1;$$

Таким образом, только

$x = -3$

удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ:

$x = -3$

.

3)

$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x + 6} = 0;$$

Шаг 1: Анализируем выражения

Поскольку оба квадратных корня должны быть неотрицательными числами, то их сумма не может быть равна нулю, если оба выражения не равны нулю.

Шаг 2: Решаем уравнение

Из первого слагаемого получаем:

$$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2;$$

Из второго слагаемого получаем:

$$x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6;$$

Но два этих значения не могут быть одновременно верными, так как оба слагаемых не могут одновременно быть равны нулю.

Ответ: Корней нет.

4)

$$\sqrt{x + 7} + \sqrt{x — 2} = 9;$$

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{x + 7} + \sqrt{x — 2})^2 = 9^2;$$

Раскрываем квадрат:

$$(\sqrt{x + 7})^2 + 2 \cdot \sqrt{x + 7} \cdot \sqrt{x — 2} + (\sqrt{x — 2})^2 = 81;$$

Упрощаем:

$$x + 7 + 2\sqrt{(x + 7)(x — 2)} + x — 2 = 81;$$

$$2x + 5 + 2\sqrt{(x + 7)(x — 2)} = 81;$$

Шаг 2: Изолируем корень

Переносим все, что не связано с корнем, на одну сторону:

$$2\sqrt{(x + 7)(x — 2)} = 81 — 2x — 5;$$

$$2\sqrt{(x + 7)(x — 2)} = 76 — 2x;$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{(x + 7)(x — 2)} = 38 — x;$$

Шаг 3: Возводим обе стороны в квадрат

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(x + 7)(x — 2) = (38 — x)^2;$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

Раскрываем скобки на обеих сторонах:

$$x^2 — 2x + 7x — 14 = 1444 — 76x + x^2;$$

Упрощаем:

$$x^2 + 5x — 14 = 1444 — 76x + x^2;$$

Шаг 5: Убираем

$x^2$

Отнимаем

$x^2$

с обеих сторон:

$$5x — 14 = 1444 — 76x;$$

Шаг 6: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$5x + 76x = 1444 + 14;$$

$$81x = 1458;$$

Делим обе стороны на 81:

$$x = \frac{1458}{81} = 18;$$

Шаг 7: Проверка

Подставляем

$x = 18$

в исходное уравнение:

$$\sqrt{18 + 7} + \sqrt{18 — 2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9;$$

Ответ:

$x = 18$

.