ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1579 Алимов — Подробные Ответы

При всех а решить неравенство | х — 5а | < = 4а — 3 и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства х2 — 4х — 5 < 0.

Решить неравенство:
$|x — 5a| \leq 4a — 3;$

Неравенство имеет решения при:
$4a — 3 \geq 0;$
$4a \geq 3, \text{ отсюда } a \geq \frac{3}{4};$

Если $a = \frac{3}{4}$, тогда:
$x — 5a = 0, \text{ отсюда } x = 5a = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4};$

Если $a > \frac{3}{4}$, тогда число под знаком модуля:

• Если $x \geq 5a$, тогда:
  $x — 5a \leq 4a — 3;$
  $x \leq 9a — 3;$
• Если $x < 5a$, тогда:
  $-(x — 5a) \leq 4a — 3;$
  $-x + 5a \leq 4a — 3;$
  $-x \leq -a — 3;$
  $x \geq a + 3;$

Ответ: если $a < \frac{3}{4}$, то решений нет; если $a = \frac{3}{4}$, то $x = \frac{15}{4}$; если $a > \frac{3}{4}$, то $a + 3 \leq x \leq 9a — 3$.

Решения совпадают с решениями неравенства:
$x^2 — 4x — 5 < 0;$
$D = 4^2 + 5 \cdot 4 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$
$(x + 1)(x — 5) < 0;$
$-1 < x < 5;$

$$\begin{cases} a + 3 \geq -1 \\ 9a — 3 < 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > -4 \\ 9a < 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > -4 \\ a < \frac{8}{9} \end{cases};$$

Ответ: $\frac{3}{4} \leq a < \frac{8}{9}$.

Задано неравенство:

$$|x — 5a| \leq 4a — 3$$

Для начала нужно решить это неравенство для $x$, учитывая, что оно содержит модуль.

Шаг 1. Условия существования неравенства

Перед тем как решать само неравенство, нужно учесть условия, при которых оно имеет смысл. Модуль $|x — 5a|$ определен при любом $x$ и $a$, но правая часть неравенства $4a — 3$ должна быть неотрицательной, так как модуль всегда неотрицателен. Следовательно, для того чтобы неравенство было решаемым, должно выполняться условие:

$$4a — 3 \geq 0.$$

Решим это неравенство:

$$4a \geq 3 \quad \Rightarrow \quad a \geq \frac{3}{4}.$$

Таким образом, чтобы неравенство имело решения, необходимо, чтобы $a \geq \frac{3}{4}$.

Шаг 2. Разбор случаев

Для $a \geq \frac{3}{4}$ можно рассматривать два случая в зависимости от знака выражения внутри модуля. Напоминаем, что выражение $|x — 5a|$ означает, что мы должны рассмотреть два случая для $x$:

1. Когда $x — 5a \geq 0$ (то есть $x \geq 5a$).
2. Когда $x — 5a < 0$ (то есть $x < 5a$).

Подслучай 1: $x \geq 5a$

Если $x \geq 5a$, то $|x — 5a| = x — 5a$. Подставляем это в исходное неравенство:

$$x — 5a \leq 4a — 3.$$

Теперь преобразуем это неравенство:

$$x \leq 9a — 3.$$

Итак, для $x \geq 5a$ получаем неравенство $x \leq 9a — 3$.

Подслучай 2: $x < 5a$

Если $x < 5a$, то $|x — 5a| = -(x — 5a) = 5a — x$. Подставляем это в исходное неравенство:

$$5a — x \leq 4a — 3.$$

Решаем это неравенство:

$$-x \leq -a — 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq a + 3.$$

Таким образом, для $x < 5a$ получаем неравенство $x \geq a + 3$.

Шаг 3. Объединение решений

Теперь рассмотрим объединение решений, полученных в двух подслучаях:

1. Для $x \geq 5a$ мы получили, что $x \leq 9a — 3$.
2. Для $x < 5a$ мы получили, что $x \geq a + 3$.

Таким образом, для $a \geq \frac{3}{4}$ решение неравенства будет:

$$a + 3 \leq x \leq 9a — 3.$$

Шаг 4. Рассмотрение частных случаев

Теперь рассмотрим два частных случая для значений $a$.

1. Когда $a = \frac{3}{4}$:

В этом случае:

$$x — 5a = 0, \quad \text{и} \quad x = 5a = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}.$$

Таким образом, при $a = \frac{3}{4}$ решение $x = \frac{15}{4}$.

2. Когда $a < \frac{3}{4}$:

Если $a < \frac{3}{4}$, то неравенство $|x — 5a| \leq 4a — 3$ не имеет решений, так как правая часть будет отрицательной, а модуль всегда неотрицателен. Поэтому решений нет, если $a < \frac{3}{4}$.

Шаг 5. Соотношение с квадратным неравенством

Теперь рассмотрим, как решение этого неравенства совпадает с решением неравенства:

$$x^2 — 4x — 5 < 0.$$

Для этого находим дискриминант этого квадратного неравенства:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.$$

Корни этого уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5.$$

Таким образом, неравенство $x^2 — 4x — 5 < 0$ имеет решение $-1 < x < 5$.

Шаг 6. Найдем диапазоны для $a$

Сравнив ограничения, получаем систему неравенств:

$$a + 3 \geq -1 \quad \text{и} \quad 9a — 3 < 5.$$

Решим каждое из них:

1. $a + 3 \geq -1 \quad \Rightarrow \quad a \geq -4$.
2. $9a — 3 < 5 \quad \Rightarrow \quad 9a < 8 \quad \Rightarrow \quad a < \frac{8}{9}$.

Таким образом, получаем, что $a$ должно удовлетворять условиям:

$$a > -4 \quad \text{и} \quad a < \frac{8}{9}.$$

Шаг 7. Итоговое решение

Ответ на задачу:

$$\frac{3}{4} \leq a < \frac{8}{9}.$$