ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1577 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (2x-7) < = корень (6x+13);
2. корень (3-x) < корень (3x-5).

1) $\sqrt{2x — 7} \leq \sqrt{6x + 13}$;

$2x — 7 \leq 6x + 13$;

$-4x \leq 20$, отсюда $x \geq -5$;

Выражение имеет смысл при:

$2x — 7 \geq 0$;

$2x \geq 7$, отсюда $x \geq 3,5$;

Выражение имеет смысл при:

$6x + 13 \geq 0$;

$6x \geq -13$, отсюда $x \geq -2 \frac{1}{6}$;

Ответ: $x \geq 3,5$.

2) $\sqrt{3 — x} < \sqrt{3x — 5}$;

$3 — x < 3x — 5$;

$-4x < -8$, отсюда $x > 2$;

Выражение имеет смысл при:

$3 — x \geq 0$, отсюда $x \leq 3$;

Выражение имеет смысл при:

$3x — 5 \geq 0$;

$3x \geq 5$, отсюда $x \geq 1 \frac{2}{3}$;

Ответ: $2 < x \leq 3$.

Задача 1:

Решите неравенство:

$$\sqrt{2x — 7} \leq \sqrt{6x + 13}$$

Шаг 1. Квадрат обеих сторон

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны неравенства в квадрат. При этом важно помнить, что если $a \leq b$, то $a^2 \leq b^2$, если $a \geq 0$ и $b \geq 0$. Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, это условие будет выполнено только при выполнении дополнительных ограничений на $x$.

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{2x — 7})^2 \leq (\sqrt{6x + 13})^2$$ $$2x — 7 \leq 6x + 13$$

Шаг 2. Упрощение неравенства

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$$2x — 7 \leq 6x + 13$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а постоянные числа на другую:

$$2x — 6x \leq 13 + 7$$ $$-4x \leq 20$$

Теперь разделим обе стороны на $-4$. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число неравенство меняет знак:

$$x \geq -5$$

Таким образом, из первого шага получаем ограничение:

$$x \geq -5$$

Шаг 3. Условия существования выражений под корнями

Для того чтобы выражения под квадратными корнями имели смысл, нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Разберем это для каждого из корней.

Для $\sqrt{2x — 7}$:

$$2x — 7 \geq 0$$ $$2x \geq 7$$ $$x \geq 3,5$$

Для $\sqrt{6x + 13}$:

$$6x + 13 \geq 0$$ $$6x \geq -13$$ $$x \geq -\frac{13}{6} \approx -2,167$$

Шаг 4. Объединение условий

Теперь объединяем все ограничения:

• $x \geq -5$ (из неравенства),
• $x \geq 3,5$ (из условия для первого квадратного корня),
• $x \geq -\frac{13}{6}$ (из условия для второго квадратного корня).

Самое строгое условие здесь $x \geq 3,5$, поскольку оно накладывает более жесткое ограничение, чем $x \geq -\frac{13}{6}$ и $x \geq -5$.

Ответ:

$$x \geq 3,5$$

Задача 2:

Решите неравенство:

$$\sqrt{3 — x} < \sqrt{3x — 5}$$

Шаг 1. Квадрат обеих сторон

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Напоминаю, что при возведении обеих сторон неравенства в квадрат знак неравенства не меняется, если обе стороны неотрицательны.

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{3 — x})^2 < (\sqrt{3x — 5})^2$$ $$3 — x < 3x — 5$$

Шаг 2. Упрощение неравенства

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$$3 — x < 3x — 5$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а числа на другую:

$$3 + 5 < 3x + x$$ $$8 < 4x$$

Теперь разделим обе стороны на 4:

$$x > 2$$

Таким образом, из первого шага получаем ограничение:

$$x > 2$$

Шаг 3. Условия существования выражений под корнями

Для того чтобы выражения под квадратными корнями имели смысл, нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Разберем это для каждого из корней.

Для $\sqrt{3 — x}$:

$$3 — x \geq 0$$ $$x \leq 3$$

Для $\sqrt{3x — 5}$:

$$3x — 5 \geq 0$$ $$3x \geq 5$$ $$x \geq \frac{5}{3} \approx 1,667$$

Шаг 4. Объединение условий

Теперь объединяем все ограничения:

• $x > 2$ (из неравенства),
• $x \leq 3$ (из условия для первого квадратного корня),
• $x \geq \frac{5}{3}$ (из условия для второго квадратного корня).

Самое строгое условие здесь $2 < x \leq 3$.

Ответ:

$$2 < x \leq 3$$

Итоговые ответы:

1. $x \geq 3,5$
2. $2 < x \leq 3$