ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1576 Алимов — Подробные Ответы

Задача

(x3+x2-4x-4)/(x3+6×2+5x-12) > 0.

Краткий ответ:

Решить неравенство:

$\frac{x^{3} + x^{2} - 4 x - 4}{x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12} > 0;$

Разложим на множители многочлен в числителе дроби:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x^{2} - 4) (x + 1) = (x - 2) (x + 2) (x + 1);$

Разложим на множители многочлен в знаменателе дроби:

$x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12 = (x^{3} + 7 x^{2} + 12 x) + (- x^{2} - 7 x - 12) =$

$= x (x^{2} + 7 x + 12) - 1 (x^{2} + 7 x + 12) = (x - 1) (x^{2} + 7 x + 12) =$

$= (x - 1) (x^{2} + 3 x + 4 x + 12) =$

$= (x - 1) (x (x + 3) + 4 (x + 3)) = (x - 1) (x + 4) (x + 3);$

Получим неравенство:

$\frac{(x - 2) (x + 2) (x + 1)}{(x - 1) (x + 4) (x + 3)} > 0;$ $(x + 4) (x + 3) (x + 2) (x + 1) (x - 1) (x - 2) > 0;$ $x < - 4, - 3 ⩽ x < - 2, - 1 < x < 1, x > 2;$

Ответ: $x \in (- \infty; - 4) \cup (- 3; - 2) \cup (- 1; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Подробный ответ:

Задано неравенство:

$\frac{x^{3} + x^{2} - 4 x - 4}{x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12} > 0.$

Мы решаем неравенство, требующее нахождения области, где дробь положительна. Чтобы сделать это, нужно внимательно рассмотреть числитель и знаменатель, разложить их на множители и проанализировать знаки.

Шаг 1. Разложим числитель на множители

Числитель выражения: $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ .

Попробуем сгруппировать и разложить:

$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) .$

Теперь видим, что можно вынести общий множитель $(x + 1)$ :

$x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4) .$

Теперь разложим $x^{2} - 4$ как разность квадратов:

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) .$

Таким образом, числитель будет:

$(x + 1) (x - 2) (x + 2) .$

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители

Знаменатель выражения: $x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$ .

Попробуем сгруппировать и разложить:

$x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12 = (x^{3} + 7 x^{2} + 12 x) + (- x^{2} - 7 x - 12) .$

Теперь, вынесем общий множитель из каждой группы:

$x (x^{2} + 7 x + 12) - 1 (x^{2} + 7 x + 12) .$

Вынесем общий множитель $(x^{2} + 7 x + 12)$ :

$= (x - 1) (x^{2} + 7 x + 12) .$

Теперь разложим $x^{2} + 7 x + 12$ , если возможно. Попробуем найти его корни через дискриминант:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Корни будут:

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 \pm 1}{2} .$

Таким образом, корни:

$x_{1} = \frac{- 7 + 1}{2} = - 3, x_{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - 4.$

Таким образом, $x^{2} + 7 x + 12$ можно разложить как:

$(x + 4) (x + 3) .$

Теперь знаменатель выражения:

$(x - 1) (x + 4) (x + 3) .$

Шаг 3. Подставляем разложенные множители

Теперь подставим разложенные множители числителя и знаменателя в исходное неравенство:

$\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 4) (x + 3)} > 0.$

Шаг 4. Определяем интервалы для анализа знаков

Чтобы решить неравенство, нужно найти, на каких интервалах выражение будет положительным. Для этого нужно рассмотреть знаки каждого множителя. Мы имеем 6 множителей: $(x + 1)$ , $(x - 2)$ , $(x + 2)$ , $(x - 1)$ , $(x + 4)$ , $(x + 3)$ . Найдем их нули:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ ,
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ,
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ ,
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ,
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4$ ,
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ .

Теперь у нас есть 6 точек, которые разбивают ось $x$ на интервалы:

$(- \infty, - 4), (- 4, - 3), (- 3, - 2), (- 2, - 1), (- 1, 1), (1, 2), (2, + \infty) .$

Шаг 5. Определяем знаки на интервалах

Для того чтобы узнать знак выражения на каждом интервале, подставим значения $x$ из каждого интервала в множители:

Для интервала $(- \infty, - 4)$ (например, $x = - 5$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) < 0, (x + 2) < 0, (x - 1) < 0, (x + 4) < 0, (x + 3) < 0.$

Итак, на этом интервале выражение положительное, так как у нас 6 отрицательных множителей (произведение четного числа отрицательных чисел положительно).

Для интервала $(- 4, - 3)$ (например, $x = - 3.5$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) < 0, (x + 2) < 0, (x - 1) < 0, (x + 4) > 0, (x + 3) < 0.$

Знак выражения на этом интервале будет отрицательным.

Для интервала $(- 3, - 2)$ (например, $x = - 2.5$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) < 0, (x + 2) > 0, (x - 1) < 0, (x + 4) > 0, (x + 3) < 0.$

Знак выражения будет положительным.

Для интервала $(- 2, - 1)$ (например, $x = - 1.5$ ):

$(x + 1) < 0, (x - 2) < 0, (x + 2) > 0, (x - 1) < 0, (x + 4) > 0, (x + 3) > 0.$

Знак выражения будет отрицательным.

Для интервала $(- 1, 1)$ (например, $x = 0$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) < 0, (x + 2) > 0, (x - 1) < 0, (x + 4) > 0, (x + 3) > 0.$

Знак выражения будет положительным.

Для интервала $(1, 2)$ (например, $x = 1.5$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) < 0, (x + 2) > 0, (x - 1) > 0, (x + 4) > 0, (x + 3) > 0.$

Знак выражения будет отрицательным.

Для интервала $(2, + \infty)$ (например, $x = 3$ ):

$(x + 1) > 0, (x - 2) > 0, (x + 2) > 0, (x - 1) > 0, (x + 4) > 0, (x + 3) > 0.$

Знак выражения будет положительным.

Шаг 6. Ответ

Неравенство будет выполнено, когда дробь положительна, то есть на следующих интервалах:

$(- \infty, - 4), (- 3, - 2), (- 1, 1), (2, + \infty) .$

Таким образом, ответ:

$x \in (- \infty; - 4) \cup (- 3; - 2) \cup (- 1; 1) \cup (2; + \infty) .$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы