ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1576 Алимов — Подробные Ответы

(x3+x2-4x-4)/(x3+6×2+5x-12) > 0.

Решить неравенство:

$$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0;$$

Разложим на множители многочлен в числителе дроби:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x^2-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1);$$

Разложим на множители многочлен в знаменателе дроби:

$$x^3+6x^2+5x-12=(x^3+7x^2+12x)+(-x^2-7x-12)=$$

$$=x(x^2+7x+12)-1(x^2+7x+12)=(x-1)(x^2+7x+12)=$$

$$=(x-1)(x^2+3x+4x+12)=$$

$$=(x-1)(x(x+3)+4(x+3))=(x-1)(x+4)(x+3);$$

Получим неравенство:

$$\frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+4)(x+3)}>0;$$$$(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)>0;$$$$x<-4,-3⩽x<-2,-1<x<1,x>2;$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;-2)\cup (-1;1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

Задано неравенство:

$$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0.$$

Мы решаем неравенство, требующее нахождения области, где дробь положительна. Чтобы сделать это, нужно внимательно рассмотреть числитель и знаменатель, разложить их на множители и проанализировать знаки.

Шаг 1. Разложим числитель на множители

Числитель выражения: $x^3+x^2-4x-4$.

Попробуем сгруппировать и разложить:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)\mathrm{.}$$

Теперь видим, что можно вынести общий множитель $(x+1)$:

$$x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)\mathrm{.}$$

Теперь разложим $x^2-4$ как разность квадратов:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)\mathrm{.}$$

Таким образом, числитель будет:

$$(x+1)(x-2)(x+2)\mathrm{.}$$

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители

Знаменатель выражения: $x^3+6x^2+5x-12$.

Попробуем сгруппировать и разложить:

$$x^3+6x^2+5x-12=(x^3+7x^2+12x)+(-x^2-7x-12)\mathrm{.}$$

Теперь, вынесем общий множитель из каждой группы:

$$x(x^2+7x+12)-1(x^2+7x+12)\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель $(x^2+7x+12)$:

$$=(x-1)(x^2+7x+12)\mathrm{.}$$

Теперь разложим $x^2+7x+12$, если возможно. Попробуем найти его корни через дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Корни будут:

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-7\pm 1}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, корни:

$$x_1=\frac{-7+1}{2}=-3,x_2=\frac{-7-1}{2}=-4.$$

Таким образом, $x^2+7x+12$ можно разложить как:

$$(x+4)(x+3)\mathrm{.}$$

Теперь знаменатель выражения:

$$(x-1)(x+4)(x+3)\mathrm{.}$$

Шаг 3. Подставляем разложенные множители

Теперь подставим разложенные множители числителя и знаменателя в исходное неравенство:

$$\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+4)(x+3)}>0.$$

Шаг 4. Определяем интервалы для анализа знаков

Чтобы решить неравенство, нужно найти, на каких интервалах выражение будет положительным. Для этого нужно рассмотреть знаки каждого множителя. Мы имеем 6 множителей: $(x+1)$, $(x-2)$, $(x+2)$, $(x-1)$, $(x+4)$, $(x+3)$. Найдем их нули:

• $x+1=0\Rightarrow x=-1$,
• $x-2=0\Rightarrow x=2$,
• $x+2=0\Rightarrow x=-2$,
• $x-1=0\Rightarrow x=1$,
• $x+4=0\Rightarrow x=-4$,
• $x+3=0\Rightarrow x=-3$.

Теперь у нас есть 6 точек, которые разбивают ось $x$ на интервалы:

$$(-\mathrm{\infty },-4),(-4,-3),(-3,-2),(-2,-1),(-1,1),(1,2),(2,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Шаг 5. Определяем знаки на интервалах

Для того чтобы узнать знак выражения на каждом интервале, подставим значения $x$ из каждого интервала в множители:

Для интервала $(-\mathrm{\infty },-4)$ (например, $x=-5$):

$$(x+1)>0,(x-2)<0,(x+2)<0,(x-1)<0,(x+4)<0,(x+3)<0.$$

Итак, на этом интервале выражение положительное, так как у нас 6 отрицательных множителей (произведение четного числа отрицательных чисел положительно).

Для интервала $(-4,-3)$ (например, $x=-3.5$):

$$(x+1)>0,(x-2)<0,(x+2)<0,(x-1)<0,(x+4)>0,(x+3)<0.$$

Знак выражения на этом интервале будет отрицательным.

Для интервала $(-3,-2)$ (например, $x=-2.5$):

$$(x+1)>0,(x-2)<0,(x+2)>0,(x-1)<0,(x+4)>0,(x+3)<0.$$

Знак выражения будет положительным.

Для интервала $(-2,-1)$ (например, $x=-1.5$):

$$(x+1)<0,(x-2)<0,(x+2)>0,(x-1)<0,(x+4)>0,(x+3)>0.$$

Знак выражения будет отрицательным.

Для интервала $(-1,1)$ (например, $x=0$):

$$(x+1)>0,(x-2)<0,(x+2)>0,(x-1)<0,(x+4)>0,(x+3)>0.$$

Знак выражения будет положительным.

Для интервала $(1,2)$ (например, $x=1.5$):

$$(x+1)>0,(x-2)<0,(x+2)>0,(x-1)>0,(x+4)>0,(x+3)>0.$$

Знак выражения будет отрицательным.

Для интервала $(2,+\mathrm{\infty })$ (например, $x=3$):

$$(x+1)>0,(x-2)>0,(x+2)>0,(x-1)>0,(x+4)>0,(x+3)>0.$$

Знак выражения будет положительным.

Шаг 6. Ответ

Неравенство будет выполнено, когда дробь положительна, то есть на следующих интервалах:

$$(-\mathrm{\infty },-4),(-3,-2),(-1,1),(2,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Таким образом, ответ:

$$x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;-2)\cup (-1;1)\cup (2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$