ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1573 Алимов — Подробные Ответы

Система

3logx(2) = ylog5(y),

2logy(3) = xlog7(x).

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 3^{\log_x 2} = y^{\log_5 y} \\ 2^{\log_y 3} = x^{\log_7 x} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \log_3 3^{\log_x 2} = \log_3 y^{\log_5 y} \\ \log_2 2^{\log_y 3} = \log_2 x^{\log_7 x} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \log_x 2 = \log_3 y^{\log_5 y} \\ \log_y 3 = \log_2 x^{\log_7 x} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \log_5 y \cdot \log_3 y \\ \frac{\log_3 3}{\log_3 y} = \log_7 x \cdot \log_2 x \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{1}{\log_2 x} = \log_5 y \cdot \log_3 y \\ \frac{1}{\log_3 y} = \log_7 x \cdot \log_2 x \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\log_2 x = \frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y};$$ $$\log_2 x = \log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y};$$ $$x = 2^{\frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y}};$$

Второе уравнение:

$$\frac{1}{\log_3 y} = \log_7 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y} \cdot \log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y};$$ $$\frac{1}{\log_3 y} = \log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y} \cdot \frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y};$$ $$\frac{1}{\log_3 y} = \frac{\log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y}}{\log_5 y \cdot \log_3 y};$$ $$\log_3 y = \log_5^2 y \cdot \log_3^2 y \cdot \log_2 7;$$ $$\log_5^2 y \cdot \log_3 y = \log_2 7;$$ $$\log_5^2 y \cdot \frac{\log_5 y}{\log_5 3} = \log_7 2;$$ $$\log_5^3 y = \log_5 3 \cdot \log_7 2;$$ $$y = 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}}.$$ $$\frac{1}{\log_2 x} = \log_5 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}} \cdot \log_3 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}};$$ $$\frac{1}{\log_2 x} = (\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\log_5 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}}}{\log_5 3};$$ $$\frac{1}{\log_2 x} = \frac{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}{\log_5 3};$$ $$\log_2 x = \frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}};$$ $$x = 2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}}.$$

Ответ:

$$\left( 2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}}, 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}} \right).$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3^{\log_x 2} = y^{\log_5 y} \\ 2^{\log_y 3} = x^{\log_7 x} \end{cases}$$

Шаг 1: Логарифмирование и преобразование уравнений

Первое уравнение:

$$3^{\log_x 2} = y^{\log_5 y}.$$

Чтобы упростить это уравнение, применим логарифм с основанием 3:

$$\log_3 \left( 3^{\log_x 2} \right) = \log_3 \left( y^{\log_5 y} \right).$$

Используя свойства логарифмов, получаем:

$$\log_x 2 = \log_3 y \cdot \log_5 y.$$

Второе уравнение:

$$2^{\log_y 3} = x^{\log_7 x}.$$

Применяем логарифм с основанием 2:

$$\log_2 \left( 2^{\log_y 3} \right) = \log_2 \left( x^{\log_7 x} \right).$$

Преобразуем, используя свойства логарифмов:

$$\log_y 3 = \log_2 x \cdot \log_7 x.$$

Теперь у нас есть система логарифмических уравнений:

$$\begin{cases} \log_x 2 = \log_3 y \cdot \log_5 y \\ \log_y 3 = \log_2 x \cdot \log_7 x \end{cases}$$

Шаг 2: Решение системы уравнений

Первое уравнение:

$$\log_x 2 = \log_3 y \cdot \log_5 y.$$

Это уравнение можно переписать через логарифмы с основанием 2, используя формулу $\log_x a = \frac{\log_2 a}{\log_2 x}$:

$$\frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \log_5 y \cdot \log_3 y.$$

Поскольку $\log_2 2 = 1$, уравнение упрощается:

$$\frac{1}{\log_2 x} = \log_5 y \cdot \log_3 y.$$

Теперь выразим $\log_2 x$:

$$\log_2 x = \frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y}.$$

Это уравнение можно переписать как:

$$x = 2^{\frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y}}.$$

Второе уравнение:

$$\log_y 3 = \log_2 x \cdot \log_7 x.$$

Аналогично первому уравнению, используем свойство логарифмов:

$$\frac{1}{\log_3 y} = \log_7 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y} \cdot \log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y}.$$

Упрощаем выражение:

$$\frac{1}{\log_3 y} = \log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y} \cdot \frac{1}{\log_5 y \cdot \log_3 y}.$$

Преобразуем дальше:

$$\frac{1}{\log_3 y} = \frac{\log_2 2^{\log_5 y \cdot \log_3 y}}{\log_5 y \cdot \log_3 y}.$$

Заменим логарифм:

$$\log_3 y = \log_5^2 y \cdot \log_3^2 y \cdot \log_2 7.$$

Теперь преобразуем уравнение:

$$\log_5^2 y \cdot \log_3 y = \log_2 7.$$

Решаем относительно $y$:

$$\log_5^2 y \cdot \frac{\log_5 y}{\log_5 3} = \log_7 2.$$

Теперь подставим в полученное выражение:

$$\log_5^3 y = \log_5 3 \cdot \log_7 2.$$

Решаем для $y$:

$$y = 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}}.$$

Шаг 3: Подставляем значение $y$ в уравнение для $x$

Теперь подставим найденное значение $y$ в уравнение для $x$:

$$\frac{1}{\log_2 x} = \log_5 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}} \cdot \log_3 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}}.$$

Упрощаем:

$$\frac{1}{\log_2 x} = (\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\log_5 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}}}{\log_5 3}.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{\log_2 x} = \frac{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}{\log_5 3}.$$

Теперь выразим $x$:

$$\log_2 x = \frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}.$$

Таким образом, получаем:

$$x = 2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}}.$$

Ответ:

$$\boxed{\left( 2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{2}{3}}}}, 5^{(\log_5 3 \cdot \log_7 2)^{\frac{1}{3}}} \right)}.$$