ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1572 Алимов — Подробные Ответы

Система

6 sin х cos у + 2 cos x sin у = — 3,

5 sin x cos y — 3 cos x sin у=1.

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 6 \sin x \cdot \cos y + 2 \cos x \cdot \sin y = -3 \\ 5 \sin x \cdot \cos y — 3 \cos x \cdot \sin y = 1 \end{cases}$$

Пусть $u = \cos x \cdot \sin y$ и $v = \cos y \cdot \sin x$, тогда:

$$\begin{cases} 6v + 2u = -3 \\ 5v — 3u = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = -\frac{3}{2} — 3v \\ 5v — 3u = 1 \end{cases}$$

Подставим $u = -\frac{3}{2} — 3v$ в второе уравнение:

$$5v — 3\left(-\frac{3}{2} — 3v\right) = 1;$$ $$5v + \frac{9}{2} + 9v = 1;$$ $$14v = 1 — 4.5;$$ $$14v = -\frac{7}{2}, \text{ отсюда } v = -\frac{1}{4};$$ $$u = -\frac{3}{2} — 3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{-6 + 3}{4} = -\frac{3}{4};$$

Получим систему уравнений:

$$\begin{cases} \cos x \cdot \sin y = -\frac{3}{4} \\ \cos y \cdot \sin x = -\frac{1}{4} \end{cases}$$

Далее:

Сложим первое уравнение со вторым:

$$\cos x \cdot \sin y + \cos y \cdot \sin x = -\frac{3}{4} — \frac{1}{4};$$ $$\sin(x + y) = -1;$$ $$x + y = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n — y;$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\cos y \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4};$$ $$\sin(x — y) = \frac{1}{2};$$ $$x — y = (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi k = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k;$$

Подставим значение $x$:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n — y — y = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k;$$ $$-2y = \frac{\pi}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k — 2\pi n;$$ $$y = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi k}{2} + \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} — (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} — \pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\left( -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi n; \quad -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi k}{2} + \pi n \right)}$$

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 6 \sin x \cdot \cos y + 2 \cos x \cdot \sin y = -3 \\ 5 \sin x \cdot \cos y — 3 \cos x \cdot \sin y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1. Введение новых переменных

Для удобства решим задачу, введя новые переменные. Пусть:

• $u = \cos x \cdot \sin y$,
• $v = \cos y \cdot \sin x$.

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 6v + 2u = -3 \\ 5v — 3u = 1 \end{cases}$$

Шаг 2. Решение системы для $u$ и $v$

Теперь решим эту систему для $u$ и $v$. Начнем с первого уравнения:

$$6v + 2u = -3.$$

Преобразуем его для $u$:

$$2u = -3 — 6v,$$ $$u = -\frac{3}{2} — 3v.$$

Теперь подставим это значение $u$ во второе уравнение:

$$5v — 3u = 1.$$

Подставляем выражение для $u$:

$$5v — 3\left(-\frac{3}{2} — 3v\right) = 1.$$

Раскроем скобки:

$$5v + \frac{9}{2} + 9v = 1.$$

Теперь соберем все элементы с $v$ слева:

$$14v + \frac{9}{2} = 1.$$

Вычтем $\frac{9}{2}$ с обеих сторон:

$$14v = 1 — \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}.$$

Теперь решим для $v$:

$$v = -\frac{1}{4}.$$

Шаг 3. Найдем $u$

Теперь, зная $v = -\frac{1}{4}$, подставим это значение в выражение для $u$:

$$u = -\frac{3}{2} — 3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right).$$

Упростим:

$$u = -\frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{-6 + 3}{4} = -\frac{3}{4}.$$

Таким образом, мы нашли:

$$u = -\frac{3}{4}, \quad v = -\frac{1}{4}.$$

Шаг 4. Получим систему с тригонометрическими функциями

Теперь мы можем подставить значения $u$ и $v$ в исходные выражения для тригонометрических функций:

$$\cos x \cdot \sin y = -\frac{3}{4},$$ $$\cos y \cdot \sin x = -\frac{1}{4}.$$

Шаг 5. Сложение и вычитание уравнений

Сложение уравнений

Теперь сложим эти два уравнения:

$$\cos x \cdot \sin y + \cos y \cdot \sin x = -\frac{3}{4} — \frac{1}{4}.$$

Упростим:

$$\cos x \cdot \sin y + \cos y \cdot \sin x = -1.$$

Используя тригонометрическую формулу для синуса суммы, получаем:

$$\sin(x + y) = -1.$$

Это означает, что:

$$x + y = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Следовательно:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n — y.$$

Вычитание уравнений

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$$\cos y \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4}.$$

Упростим:

$$\cos y \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin y = \frac{1}{2}.$$

Используем тригонометрическую формулу для синуса разности:

$$\sin(x — y) = \frac{1}{2}.$$

Это означает, что:

$$x — y = (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi k = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k.$$

Шаг 6. Решение для $x$ и $y$

Теперь, используя два уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n — y,$$ $$x — y = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k,$$

подставим значение для $x$:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n — y — y = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k.$$

Упростим:

$$-2y = \frac{\pi}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k — 2\pi n.$$

Теперь выразим $y$:

$$y = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi k}{2} + \pi n.$$

Теперь подставим это значение $y$ в выражение для $x$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} — (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} — \pi n.$$

Упростим:

$$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{\left( -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi n; \quad -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{\pi k}{2} + \pi n \right)}.$$