ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1571 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений (1571—1573).

1) система

xy=yx,

x3=y2;

2) система

x корень x=y,

y корень y=x4;

3) система

x-y=-1/3,

cos2 пиx- sin2 пиy=1/2.

Для первых двух систем существует очевидное решение: $(1; 1)$.

1)

$$\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^y = y^x \\ x = y^{\frac{2}{3}} \end{cases}$$ $$\left(y^{\frac{2}{3}}\right)^y = y^{y \cdot \frac{2}{3}};$$ $$y^{\frac{2y}{3}} = y^{y \cdot \frac{2}{3}};$$ $$\frac{2y}{3} = y \cdot \frac{2}{3};$$ $$y^{\frac{2}{3}} — \frac{2y}{3} = 0;$$ $$y^{\frac{2}{3}} \cdot \left(1 — \frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}}\right) = 0;$$

Первое значение:

$$y^{\frac{2}{3}} = 0, \text{ отсюда } y = 0;$$ $$x = 0^{\frac{2}{3}} = 0;$$

Второе значение:

$$1 — \frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}} = 0;$$ $$\frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}} = 1;$$ $$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, \text{ отсюда } y = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8};$$ $$x = \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x \neq 0 \\ y \neq 0 \end{cases}$$

Ответ: $\left(\frac{9}{4}; \frac{27}{8}\right); (1; 1)$.

2)

$$\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^{\sqrt{y}} \\ x = y^{\frac{\sqrt{y}}{4}} \end{cases}$$ $$y = \left(y^{\frac{\sqrt{y}}{4}}\right)^{\sqrt{y}};$$ $$y = y^{\frac{y}{4}};$$ $$1 = \frac{y}{4}, \text{ отсюда } y = 4;$$ $$x = 4^{\frac{\sqrt{4}}{4}} = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2;$$

Ответ: $(2; 4); (1; 1)$.

3)

$$\begin{cases} x — y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2 \pi x — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y — \frac{1}{3} \\ \cos^2 \pi x — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \end{cases}$$ $$\cos^2 \left(\pi \left(y — \frac{1}{3}\right)\right) — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2};$$ $$\cos^2 \left(\pi y — \frac{\pi}{3}\right) — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2};$$ $$\left(\frac{1}{2} \cos \pi y + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \pi y\right)^2 — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{4} \cos^2 \pi y + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \pi y \cdot \cos \pi y + \frac{3}{4} \sin^2 \pi y — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \quad | \cdot 4;$$ $$\cos^2 \pi y — \sin^2 \pi y + \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin \pi y \cdot \cos \pi y = 2;$$ $$\frac{1}{2} \cos 2\pi y + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\pi y = 1;$$ $$\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos 2\pi y + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin 2\pi y = 1;$$ $$\sin \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi y\right) = 1;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi y = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$2\pi y = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$y = \frac{1}{2\pi} \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{1}{6} + n;$$ $$x = \frac{1}{6} + n — \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + n;$$

Ответ: $\left(-\frac{1}{6} + n; \frac{1}{6} + n\right)$.

Часть 1.

Дано две системы уравнений:

$$\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases}$$

Рассмотрим первое уравнение: $x^y = y^x$. Оно является важным, поскольку помогает связать $x$ и $y$.

Второе уравнение $x^3 = y^2$ можно переписать как $x = y^{\frac{2}{3}}$.

Теперь подставим $x = y^{\frac{2}{3}}$ во первое уравнение:

$$\left( y^{\frac{2}{3}} \right)^y = y^{y \cdot \frac{2}{3}}.$$

Это упрощается в:

$$y^{\frac{2y}{3}} = y^{y \cdot \frac{2}{3}}.$$

Так как основания одинаковые, можно приравнять показатели степени:

$$\frac{2y}{3} = y \cdot \frac{2}{3}.$$

Теперь можно решить это уравнение. Сначала упростим его:

$$y^{\frac{2}{3}} — \frac{2y}{3} = 0.$$

Решим это уравнение через факторизацию:

$$y^{\frac{2}{3}} \cdot \left(1 — \frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}}\right) = 0.$$

У нас есть два случая:

1. $y^{\frac{2}{3}} = 0$.

Из этого следует, что $y = 0$, но в таком случае и $x = 0^{\frac{2}{3}} = 0$. Таким образом, одно из решений — $(0; 0)$.

2. $1 — \frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}} = 0$.

Преобразуем его:

$$\frac{2}{3} y^{\frac{1}{3}} = 1,$$ $$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}.$$

Возведем обе части уравнения в куб:

$$y = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}.$$

Теперь подставим значение $y = \frac{27}{8}$ в выражение для $x$:

$$x = \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.$$

Таким образом, второе решение — $\left(\frac{9}{4}; \frac{27}{8}\right)$.

Для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться следующие условия:

$$\begin{cases} x \neq 0, \\ y \neq 0. \end{cases}$$

Ответ для этой системы: $\left(\frac{9}{4}; \frac{27}{8}\right); (1; 1)$.

Часть 2.

Рассмотрим следующую систему:

$$\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases}$$

Решение второго уравнения $y^{\sqrt{y}} = x^4$ можно выразить через $x$ следующим образом:

$$x = y^{\frac{\sqrt{y}}{4}}.$$

Теперь подставим это в первое уравнение $x^{\sqrt{y}} = y$:

$$\left( y^{\frac{\sqrt{y}}{4}} \right)^{\sqrt{y}} = y.$$

Рассмотрим выражение:

$$y^{\frac{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{4}} = y,$$ $$y^{\frac{y}{4}} = y.$$

Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степени:

$$\frac{y}{4} = 1.$$

Решим это уравнение для $y$:

$$y = 4.$$

Теперь подставим $y = 4$ в выражение для $x$:

$$x = 4^{\frac{\sqrt{4}}{4}} = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2.$$

Таким образом, решение данной системы — $(2; 4); (1; 1)$.

Часть 3.

Рассмотрим третью систему:

$$\begin{cases} x — y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2 \pi x — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \end{cases}$$

Решение первого уравнения $x — y = -\frac{1}{3}$ даёт:

$$x = y — \frac{1}{3}.$$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$$\cos^2 \pi \left( y — \frac{1}{3} \right) — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2}.$$

Раскроем скобки:

$$\cos^2 \left( \pi y — \frac{\pi}{3} \right) — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2}.$$

Используя формулу для разности квадратов и свойства тригонометрических функций, получаем:

$$\left(\frac{1}{2} \cos \pi y + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \pi y \right)^2 — \sin^2 \pi y = \frac{1}{2}.$$

Умножаем обе части на 4:

$$\cos^2 \pi y — \sin^2 \pi y + \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin \pi y \cdot \cos \pi y = 2.$$

Применяя формулы для $\cos 2\pi y$ и $\sin 2\pi y$, получаем:

$$\frac{1}{2} \cos 2\pi y + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\pi y = 1.$$

Перепишем как:

$$\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos 2\pi y + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin 2\pi y = 1.$$

Используя формулу синуса суммы, получаем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi y \right) = 1.$$

Таким образом, решение:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi y = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Решаем для $y$:

$$2\pi y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,$$ $$y = \frac{1}{6} + n.$$

Теперь находим $x$:

$$x = \frac{1}{6} + n — \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + n.$$

Ответ: $\left( -\frac{1}{6} + n; \frac{1}{6} + n \right)$.

Итоговые ответы:

1. $\left(\frac{9}{4}; \frac{27}{8}\right); (1; 1)$.
2. $(2; 4); (1; 1)$.
3. $\left(-\frac{1}{6} + n; \frac{1}{6} + n\right)$.