ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 157 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x2+2) + корень (x3+x2) = 0;
2. корень 3 степени (1+x4) = корень 3 степени (1+x2).

1)

$$\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^3 + x^2} = 0;$$

Первое слагаемое:

$$\sqrt{x^2 + 2} = 0;$$

$$x^2 + 2 = 0;$$

$$x^2 = -2 \quad \text{— нет корней};$$

Второе слагаемое:

$$\sqrt{x^3 + x^2} = 0;$$

$$x^3 + x^2 = 0;$$

$$x^2(x + 1) = 0;$$

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -1;$$

Ответ: корней нет.

2)

$$\sqrt[3]{1 + x^4} = \sqrt[3]{1 + x^2};$$

$$1 + x^4 = 1 + x^2;$$

$$x^4 — x^2 = 0;$$

$$x^2(x^2 — 1) = 0;$$

$$(x + 1) \cdot x^2 \cdot (x — 1) = 0;$$

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1;$$

Ответ:

$x_1 = \pm 1; \quad x_2 = 0$

.

1)
Уравнение:

$$\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^3 + x^2} = 0$$

Рассмотрим два слагаемых по отдельности.

Первое слагаемое:

$$\sqrt{x^2 + 2} = 0$$

Для того, чтобы квадратный корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю.

Рассмотрим подкоренное выражение:

$$x^2 + 2 = 0$$

Решим это уравнение:

$$x^2 = -2$$

Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у первого слагаемого нет решений в действительных числах.

Второе слагаемое:

$$\sqrt{x^3 + x^2} = 0$$

Чтобы квадратный корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю.

Рассмотрим подкоренное выражение:

$$x^3 + x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(x + 1) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть:

$$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0$$

Решаем каждое уравнение по очереди:

• 
  $x^2 = 0$ 

  дает $x = 0$ 

• 
  $x + 1 = 0$ 

  дает $x = -1$ 

Итак, решения второго слагаемого:

$x = 0$

и

$x = -1$

.

Итоговое решение:

Проверим, есть ли совместные решения для обоих слагаемых. У нас уже есть

$x = 0$

и

$x = -1$

из второго слагаемого, но для первого слагаемого нет действительных решений. Следовательно, уравнение не имеет общих решений. Таким образом, решения у данного уравнения нет.

Ответ: нет корней.

2)
Уравнение:

$$\sqrt[3]{1 + x^4} = \sqrt[3]{1 + x^2}$$

Мы можем убрать кубические корни, возведя обе части уравнения в куб:

$$1 + x^4 = 1 + x^2$$

Упростим уравнение, вычтя 1 с обеих сторон:

$$x^4 = x^2$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$x^4 — x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(x^2 — 1) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть:

$$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0$$

Решаем каждое уравнение по очереди:

• 
  $x^2 = 0$ 

  дает $x = 0$ 

• 
  $x^2 — 1 = 0$ 

  даёт $x^2 = 1$ 

  , что даёт $x = 1$ 

  или $x = -1$ 

Таким образом, возможные значения для

$x$

— это

$x = -1$

,

$x = 0$

, и

$x = 1$

.

Ответ:

$x_1 = \pm 1; \quad x_2 = 0$

.