ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1568 Алимов — Подробные Ответы

Уравнение 2х3 + mх2 + nх + 12 = 0 имеет корни х1 = 1, х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения.

Дано уравнение:

$$2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0;$$

Уравнение имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$, значит:

$$\begin{cases} 2 \cdot 1^3 + m \cdot 1^2 + n \cdot 1 + 12 = 0 \\ 2 \cdot (-2)^3 + m \cdot (-2)^2 + n \cdot (-2) + 12 = 0 \end{cases};$$ $$\begin{cases} 2 + m + n + 12 = 0 \\ -16 + 4m — 2n + 12 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = -14 — n \\ 4m — 2n — 4 = 0 \end{cases};$$ $$4(-14 — n) — 2n — 4 = 0;$$ $$-56 — 4n — 2n — 4 = 0;$$ $$-6n — 60 = 0;$$ $$n + 10 = 0, \text{отсюда } n = -10;$$ $$m = -14 + 10 = -4;$$

Найдем третий корень уравнения:
$2x^3 — 4x^2 — 10x + 12 = 0;$
$x^3 — 2x^2 — 5x + 6 = 0;$
$(x^3 — 4x^2 + 3x) + (2x^2 — 8x + 6) = 0;$
$x(x^2 — 4x + 3) + 2(x^2 — 4x + 3) = 0;$
$(x + 2)(x^2 — 4x + 3) = 0;$
$(x + 2)(x^2 — x — 3x + 3) = 0;$
$(x + 2)(x(x — 1) — 3(x — 1)) = 0;$
$(x + 2)(x — 1)(x — 3) = 0;$
$x_1 = -2, \, x_2 = 1, \, x_3 = 3;$

Ответ: $x_3 = 3$.

Дано уравнение:

$$2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$$

Необходимо найти значения параметров $m$ и $n$, а также третий корень уравнения.

Шаг 1. Условие, что у уравнения есть корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$

Если $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$ — это корни уравнения, то подставим их в исходное уравнение и получим систему, используя свойство, что при подстановке корня уравнение обращается в ноль.

Подставляем $x = 1$ в исходное уравнение:

$$2 \cdot 1^3 + m \cdot 1^2 + n \cdot 1 + 12 = 0$$

Получаем:

$$2 + m + n + 12 = 0$$ $$m + n + 14 = 0 \quad \Rightarrow \quad m + n = -14 \tag{1}$$

Подставляем $x = -2$ в исходное уравнение:

$$2 \cdot (-2)^3 + m \cdot (-2)^2 + n \cdot (-2) + 12 = 0$$

Это даст:

$$2 \cdot (-8) + m \cdot 4 + n \cdot (-2) + 12 = 0$$ $$-16 + 4m — 2n + 12 = 0$$ $$4m — 2n — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4m — 2n = 4 \tag{2}$$

Шаг 2. Решение системы линейных уравнений

Теперь решим систему из двух уравнений:

$$m + n = -14 \tag{1}$$ $$4m — 2n = 4 \tag{2}$$

Для этого умножим уравнение (1) на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$2(m + n) = 2(-14)$$ $$2m + 2n = -28 \tag{3}$$

Теперь вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$$(2m + 2n) — (4m — 2n) = -28 — 4$$ $$2m + 2n — 4m + 2n = -32$$ $$-2m + 4n = -32$$

Разделим обе стороны на -2:

$$m — 2n = 16 \tag{4}$$

Теперь решим систему из уравнений (1) и (4):

$$m + n = -14 \tag{1}$$ $$m — 2n = 16 \tag{4}$$

Из уравнения (1) выразим $m$:

$$m = -14 — n$$

Подставим это значение $m$ в уравнение (4):

$$(-14 — n) — 2n = 16$$ $$-14 — n — 2n = 16$$ $$-14 — 3n = 16$$ $$-3n = 30$$ $$n = -10$$

Теперь подставим найденное значение $n = -10$ в уравнение (1):

$$m + (-10) = -14$$ $$m = -4$$

Шаг 3. Найдем третий корень уравнения

Теперь у нас есть уравнение:

$$2x^3 — 4x^2 — 10x + 12 = 0$$

Для нахождения корней, разделим это уравнение на две части:

$$x^3 — 2x^2 — 5x + 6 = 0$$

Попробуем применить метод разложения на множители. Начнем с того, что проведем деление на $(x — 1)$, так как это очевидный кандидат для корня, так как $x_1 = 1$ является корнем.

Разделим $x^3 — 2x^2 — 5x + 6$ на $(x — 1)$ методом деления многочленов.

Деление:

1. $x^3 \div x = x^2$
2. Умножаем $x^2 \cdot (x — 1) = x^3 — x^2$
3. Вычитаем: $(x^3 — 2x^2) — (x^3 — x^2) = -x^2$
4. $-x^2 \div x = -x$
5. Умножаем: $-x \cdot (x — 1) = -x^2 + x$
6. Вычитаем: $(-x^2 — 5x) — (-x^2 + x) = -6x$
7. $-6x \div x = -6$
8. Умножаем: $-6 \cdot (x — 1) = -6x + 6$
9. Вычитаем: $(-6x + 6) — (-6x + 6) = 0$

Итак, мы разложили многочлен на множители:

$$x^3 — 2x^2 — 5x + 6 = (x — 1)(x^2 — x — 6)$$

Теперь разложим $x^2 — x — 6$:

$$x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2)$$

Таким образом, полное разложение:

$$x^3 — 2x^2 — 5x + 6 = (x — 1)(x — 3)(x + 2)$$

Шаг 4. Корни уравнения

Получаем корни уравнения:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -2$$

Ответ:

Третий корень уравнения:

$$\boxed{x_3 = 3}$$