ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1565 Алимов — Подробные Ответы

sin3x/sinx — sinx/sin3x = 2cos2x

Решить уравнение:

$$\frac{\sin 3x}{\sin x} — \frac{\sin x}{\sin 3x} = 2 \cos 2x;$$ $$\frac{\sin^3 3x — \sin^2 x}{\sin x \cdot \sin 3x} — 2 \cos 2x = 0;$$ $$\frac{(\sin 3x — \sin x)(\sin 3x + \sin x)}{\sin x \cdot \sin 3x} — 2 \cos 2x = 0;$$ $$\frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos 2x \cdot 2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin 3x} — 2 \cos 2x = 0;$$ $$\frac{2 \sin^2 2x \cdot \cos 2x — 2 \cos 2x \cdot \sin x \cdot \sin 3x}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{2 \cos 2x \cdot (\sin^2 2x — \sin x \cdot \sin 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{2 \cos 2x \cdot \sin x \cdot (4 \sin x \cdot \cos^2 x — \sin 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Третье уравнение:

$$4 \sin x \cdot \cos^2 x — \sin 3x = 0;$$ $$4 \sin x \cdot (1 — \sin^2 x) — (3 \sin x — 4 \sin^3 x) = 0;$$ $$4 \sin x — 4 \sin^3 x + 4 \sin^3 x — 3 \sin x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 3x \neq 0;$$ $$3x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

Решить уравнение:

$$\frac{\sin 3x}{\sin x} — \frac{\sin x}{\sin 3x} = 2 \cos 2x$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Начнем с приведения исходного уравнения к удобному виду для дальнейшего анализа. Мы имеем:

$$\frac{\sin 3x}{\sin x} — \frac{\sin x}{\sin 3x} = 2 \cos 2x$$

Для удобства, сложим обе части в одну дробь:

$$\frac{\sin^2 3x — \sin^2 x}{\sin x \cdot \sin 3x} = 2 \cos 2x$$

Теперь используем формулу разности квадратов: $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$, чтобы упростить числитель:

$$\frac{(\sin 3x — \sin x)(\sin 3x + \sin x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = 2 \cos 2x$$

Шаг 2. Используем формулы для синусов

Применим формулы для удвоенных углов. Запишем $\sin 3x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$, и подставим их в уравнение. Мы получим:

$$\frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot 2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin 3x} = 2 \cos 2x$$

Шаг 3. Упростим выражение

Теперь упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{2 \sin^2 2x \cdot \cos 2x — 2 \cos 2x \cdot \sin x \cdot \sin 3x}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0$$

Здесь мы можем выделить общий множитель и привести дробь к удобному виду:

$$\frac{2 \cos 2x \cdot (\sin^2 2x — \sin x \cdot \sin 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0$$

Шаг 4. Применяем формулы для синусов

Используем еще одну формулу для синуса разности. Запишем её как:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Применим эту формулу к нашему выражению, чтобы получить:

$$\frac{2 \cos 2x \cdot \sin x \cdot (4 \sin x \cdot \cos^2 x — \sin 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = 0$$

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить для $x$.

Шаг 5. Решаем уравнение

Рассмотрим два возможных уравнения:

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0$$

Решим это уравнение. Мы знаем, что $\cos 2x = 0$, когда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 0$$

Решение этого уравнения будет:

$$x = \pi n$$

Третье уравнение:

$$4 \sin x \cdot \cos^2 x — \sin 3x = 0$$

Используем разложение для $\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$, чтобы получить:

$$4 \sin x \cdot (1 — \sin^2 x) — (3 \sin x — 4 \sin^3 x) = 0$$

Упростим:

$$4 \sin x — 4 \sin^3 x + 4 \sin^3 x — 3 \sin x = 0$$

Это даёт:

$$\sin x = 0$$

Решение:

$$x = \pi n$$

Шаг 6. Условия

Решение имеет смысл при:

1. $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$.
2. $\sin 3x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{3}$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$