ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1564 Алимов — Подробные Ответы

1. sin3x/sinx +cos3x/sin2x = 2/sin3x;
2. tg2x+ctgx=8cos2x.

1)

$$\frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x};$$ $$\frac{\sin 3x \cdot \sin 2x + \cos 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = \frac{2}{\sin 3x};$$ $$\frac{\cos(3x — 2x)}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{2}{\sin 3x} = 0;$$ $$\frac{\cos x \cdot \sin 3x — 2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{\frac{1}{2} \sin 4x \cdot \sin 3x}{\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{\frac{1}{2} (\sin 4x + \sin 2x) — \sin 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{\sin 4x + \sin 2x — 2 \sin 4x}{\sin 4x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$\frac{\sin 2x — \sin 4x}{\sin 4x \cdot \sin 3x} = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{2x — 4x}{2} \cos \frac{2x + 4x}{2} = 0;$$ $$-2 \cdot \sin x \cdot \cos 3x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 3x = 0;$$ $$3x = \pm \arccos 0 + \pi n = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 4x \neq 0;$$ $$4x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

2)

$$\tg 2x + \ctg x = 8 \cos^2 x;$$ $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos x}{\sin x} — 8 \cos^2 x = 0;$$ $$\frac{\sin 2x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos 2x}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos^2 x = 0;$$ $$\frac{\cos(2x — x)}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos^2 x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( \frac{1}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos x \right) = 0;$$ $$\cos x \cdot \frac{1 — 8 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{\cos 2x \cdot \sin x} = 0;$$ $$\cos x \cdot \frac{1 — 4 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos 2x \cdot \sin x} = 0;$$ $$\cos x \cdot \frac{1 — 2 \sin 4x}{\cos 2x \cdot \sin x} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 — 2 \sin 4x = 0;$$ $$2 \sin 4x = 1;$$ $$\sin 4x = \frac{1}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

1) $\frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x}$

Шаг 1. Преобразование исходного уравнения

Запишем исходное уравнение:

$$\frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 3x}$$

Чтобы упростить его, воспользуемся тригонометрической формулой для суммы косинусов и синусов:

$$\frac{\sin 3x}{\cos 2x} + \frac{\cos 3x}{\sin 2x} = \frac{\sin 3x \cdot \sin 2x + \cos 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x}$$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{\cos(3x — 2x)}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = \frac{\cos x}{\sin 2x \cdot \cos 2x}$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$\frac{\cos x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{2}{\sin 3x} = 0$$

Шаг 2. Преобразование дальше

Чтобы продолжить, приведем обе части уравнения к одному знаменателю. Получим:

$$\frac{\cos x \cdot \sin 3x — 2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x} = 0$$

Теперь приравняем числитель к нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю (так как $\sin 2x \cdot \cos 2x \neq 0$):

$$\cos x \cdot \sin 3x — 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Упростим выражение

Используем формулы для синусов и косинусов. Вспоминаем, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, и $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$. Это позволит переписать уравнение:

$$\frac{\frac{1}{2} \sin 4x \cdot \sin 3x}{\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x} = 0$$

Это сокращается до:

$$\frac{\frac{1}{2} (\sin 4x + \sin 2x) — \sin 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x \cdot \sin 3x} = 0$$

Шаг 4. Упростим дальше

Упростим числитель:

$$\frac{\sin 4x + \sin 2x — 2 \sin 4x}{\sin 4x \cdot \sin 3x} = 0$$ $$\frac{\sin 2x — \sin 4x}{\sin 4x \cdot \sin 3x} = 0$$

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяя её к нашему уравнению:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{2x — 4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x + 4x}{2} \right) = 0$$ $$-2 \cdot \sin x \cdot \cos 3x = 0$$

Шаг 5. Нахождение корней

Решаем это уравнение:

1. $\sin x = 0$, отсюда $x = \pi n$.
2. $\cos 3x = 0$, отсюда $3x = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n$, и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

Шаг 6. Условия

Мы также должны учесть, что выражение имеет смысл, если:

$$\sin 4x \neq 0 \quad \text{и} \quad x \neq \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

2) $\tg 2x + \ctg x = 8 \cos^2 x$

Шаг 1. Преобразование исходного уравнения

Запишем исходное уравнение:

$$\tg 2x + \ctg x = 8 \cos^2 x$$

Используем формулы для тангенса и котангенса:

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos x}{\sin x} — 8 \cos^2 x = 0$$

Шаг 2. Упростим выражение

Перепишем числитель:

$$\frac{\sin 2x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos 2x}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos^2 x = 0$$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\frac{\cos(2x — x)}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3. Преобразование выражения

Получаем:

$$\cos x \cdot \left( \frac{1}{\cos 2x \cdot \sin x} — 8 \cos x \right) = 0$$

Шаг 4. Решение для $\cos x = 0$

$\cos x = 0$, отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Шаг 5. Решение для второго уравнения

$1 — 2 \sin 4x = 0$, отсюда $\sin 4x = \frac{1}{2}$. Тогда:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 6. Условия

Мы должны учесть, что выражение имеет смысл при:

$$\cos 2x \neq 0 \quad \text{и} \quad \sin x \neq 0$$

Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ и $x \neq \pi n$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$