ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1563 Алимов — Подробные Ответы

1. tgx+ctgx=2ctg4x;
2. sin4x/sin(x-пи/4) = корень 2 (six+cosx).

1) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2 \operatorname{ctg} 4x$;

$$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2 \cdot \frac{\operatorname{ctg}^2 2x — 1}{2 \cdot \operatorname{ctg} 2x};$$ $$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin^2 2x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x};$$ $$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin^2 2x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x};$$ $$\frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 0;$$ $$\frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) — 2 \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{2 \cos^2 2x — 2 \cos 2x — 1}{0,5 \sin 4x} = 0;$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$2y^2 — 2y — 1 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 = 4 \cdot 3;$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2};$$

Первое значение:

$$\cos 2x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{— корней нет};$$

Второе значение:

$$\cos 2x = \frac{1 — \sqrt{3}}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 4x \neq 0;$$ $$4x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + \pi n$.

2) $\frac{\sin 4x}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$;

$$\frac{\sin 4x}{\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x);$$ $$\frac{\sin 4x}{\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x — \cos x)} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x);$$ $$\frac{\sin 4x}{\sin x — \cos x} — (\sin x + \cos x) = 0;$$ $$\frac{\sin 4x — (\sin^2 x — \cos^2 x)}{\sin x — \cos x} = 0;$$ $$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x + \cos 2x}{\sin x — \cos x} = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (2 \sin 2x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin 2x + 1 = 0;$$ $$2 \sin 2x = -1;$$ $$\sin 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x — \cos x \neq 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x — 1 \neq 0;$$ $$\tg x \neq 1;$$ $$x \neq \arctg 1 + \pi n \neq \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

1) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2 \operatorname{ctg} 4x$

Для начала преобразуем уравнение, используя основные тригонометрические функции и их взаимные преобразования. Напоминаю, что $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, и что $\operatorname{ctg} 4x$ можно записать через $\operatorname{tg} 2x$.

Шаг 1. Перепишем уравнение в удобной форме

Исходное уравнение:

$$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2 \operatorname{ctg} 4x$$

Теперь подставим выражения для тангенса и котангенса:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \cdot \frac{\cos^2 2x — 1}{2 \cdot \cos 2x}$$

Приводим обе стороны уравнения к одинаковому виду. Первая часть:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, у нас получается:

$$\frac{1}{\sin x \cdot \cos x}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin^2 2x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$$

Шаг 2. Упростим правую часть

Мы можем преобразовать правую часть уравнения. Запишем:

$$\frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = \frac{1}{\sin 2x \cdot \cos 2x} \left( \cos^2 2x — \sin^2 2x \right)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x}$$

Шаг 3. Преобразуем уравнение

Теперь преобразуем уравнение в удобный вид:

$$\frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 0$$

После преобразований:

$$\frac{\cos^2 2x — \sin^2 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} — \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = 0$$

Шаг 4. Приведем к общему знаменателю

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) — 2 \cos 2x}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = 0$$

Упростим числитель:

$$\cos^2 2x — 1 + \cos^2 2x — 2 \cos 2x = 0$$

Таким образом, у нас получается:

$$\frac{2 \cos^2 2x — 2 \cos 2x — 1}{\sin 2x \cdot \cos 2x} = 0$$

Шаг 5. Переход к решению квадратного уравнения

Теперь, для упрощения, будем решать квадратное уравнение. Введем подстановку $y = \cos 2x$, чтобы упростить выражения. Тогда у нас получится:

$$2y^2 — 2y — 1 = 0$$

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6. Нахождение корней для $\cos 2x$

Рассмотрим два случая:

$\cos 2x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

В этом случае решения нет, так как значения $\cos 2x$ не могут быть больше 1.

$\cos 2x = \frac{1 — \sqrt{3}}{2}$

Для этого случая:

$$2x = \pm \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + \pi n$$

Шаг 7. Условия

Решение существует, если $\sin 4x \neq 0$, то есть $4x \neq \pi n$, отсюда $x \neq \frac{\pi n}{4}$.

Ответ:

$$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 — \sqrt{3}}{2} + \pi n$$

2) $\frac{\sin 4x}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$

Шаг 1. Перепишем уравнение

Используем тригонометрические преобразования для того, чтобы упростить уравнение.

$$\frac{\sin 4x}{\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$$

Рассмотрим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения:

$$\frac{\sin 4x}{\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x — \cos x)} = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$$

Шаг 2. Упростим дробь

Умножим обе части на $\sin x — \cos x$, получаем:

$$\frac{\sin 4x}{\sin x — \cos x} — (\sin x + \cos x) = 0$$

Шаг 3. Используем формулы для синуса

Теперь используем формулы для удвоенного угла:

$$\frac{\sin 4x — (\sin^2 x — \cos^2 x)}{\sin x — \cos x} = 0$$

Шаг 4. Упростим

Используем формулы для удвоенного угла:

$$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x + \cos 2x}{\sin x — \cos x} = 0$$

Теперь видим, что числитель равен нулю при $\cos 2x = 0$ или $2 \sin 2x + 1 = 0$.

Шаг 5. Решения для $\cos 2x = 0$

Решим $\cos 2x = 0$:

$$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6. Решения для $2 \sin 2x + 1 = 0$

Решим $2 \sin 2x + 1 = 0$:

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 7. Условия

Решение существует, если $\sin x — \cos x \neq 0$, что приводит к $\tan x \neq 1$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$