ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1562 Алимов — Подробные Ответы

1. x3-3×2+x=3;
2. x3-3×2-4x+12=0;
3. x4-3×3-2×2-6x-8=0.

1) $x^3 — 3x^2 + x = 3$;
$x^3 — 3x^2 + x — 3 = 0$;
$x^2(x — 3) + (x — 3) = 0$;
$(x^2 + 1)(x — 3) = 0$;
$x_{1,2} = \pm i$ и $x_3 = 3$;

2) $x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0$;
$x^2(x — 3) — 4(x — 3) = 0$;
$(x^2 — 4)(x — 3) = 0$;
$x_{1,2} = \pm 2$ и $x_3 = 3$;

3) $x^4 — 3x^3 — 2x^2 — 6x — 8 = 0$;
$(x^4 — 4x^3 + 2x^2 — 8x) + (x^3 — 4x^2 + 2x — 8) = 0$;
$(x^3 + 1)(x^3 — 4x^2 + 2x — 8) = 0$;
$(x + 1)\big(x^2(x — 4) + 2(x — 4)\big) = 0$;
$(x + 1)(x^2 + 2)(x — 4) = 0$;
$x_1 = -1$, $x_{2,3} = \pm i\sqrt{2}$, $x_4 = 4$

1) $x^3 — 3x^2 + x = 3$

Шаг 1. Приведение уравнения к стандартному виду

Для начала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$$x^3 — 3x^2 + x — 3 = 0$$

Шаг 2. Разложение на множители

Мы видим, что у нас есть общие множители, которые можно вынести. Попробуем привести уравнение к виду, который можно будет разложить. Сначала выделим общий множитель $(x — 3)$:

$$x^2(x — 3) + (x — 3) = 0$$

Теперь можно вынести общий множитель $(x — 3)$:

$$(x — 3)(x^2 + 1) = 0$$

Шаг 3. Нахождение корней

Теперь у нас два множителя, приравняем каждый из них к нулю.

Для $x — 3 = 0$:

$$x = 3$$

Для $x^2 + 1 = 0$:

$$x^2 = -1$$ $$x = \pm i$$

Ответ:

Корни уравнения:

$$x_{1,2} = \pm i, \quad x_3 = 3$$

2) $x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0$

Шаг 1. Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение уже имеет стандартный вид:

$$x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0$$

Шаг 2. Разложение на множители

Попробуем вынести общий множитель $(x — 3)$, аналогично предыдущему случаю. Для этого разделим уравнение на два множителя:

$$x^2(x — 3) — 4(x — 3) = 0$$

Теперь можем вынести $(x — 3)$ как общий множитель:

$$(x — 3)(x^2 — 4) = 0$$

Шаг 3. Нахождение корней

Теперь приравняем каждый из множителей к нулю.

Для $x — 3 = 0$:

$$x = 3$$

Для $x^2 — 4 = 0$:

$$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Ответ:

Корни уравнения:

$$x_{1,2} = \pm 2, \quad x_3 = 3$$

3) $x^4 — 3x^3 — 2x^2 — 6x — 8 = 0$

Шаг 1. Разбиение уравнения на два выражения

Мы видим, что уравнение четвертой степени достаточно сложное для факторизации. Попробуем разделить его на два выражения, чтобы увидеть возможные множители:

$$(x^4 — 4x^3 + 2x^2 — 8x) + (x^3 — 4x^2 + 2x — 8) = 0$$

Теперь можно факторизовать:

$$(x^3 + 1)(x^3 — 4x^2 + 2x — 8) = 0$$

Шаг 2. Разложение на множители

Первый множитель $x^3 + 1$ раскладывается как сумма кубов:

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1)$$

Теперь у нас есть:

$$(x + 1)(x^2 — x + 1)(x^3 — 4x^2 + 2x — 8) = 0$$

Шаг 3. Разложение второго множителя

Рассмотрим второй множитель $x^3 — 4x^2 + 2x — 8$. Мы можем выделить общий множитель $(x — 4)$ из первых двух членов:

$$x^3 — 4x^2 = x^2(x — 4)$$

А из последних двух членов:

$$2x — 8 = 2(x — 4)$$

Теперь у нас получается:

$$(x — 4)(x^2(x — 4) + 2(x — 4)) = 0$$

Вынесем $(x — 4)$ как общий множитель:

$$(x — 4)(x^2 + 2)(x — 4) = 0$$

Шаг 4. Нахождение корней

Теперь приравняем каждый из множителей к нулю:

Для $x + 1 = 0$:

$$x = -1$$

Для $x^2 + 2 = 0$:

$$x^2 = -2$$ $$x = \pm i\sqrt{2}$$

Для $x — 4 = 0$:

$$x = 4$$

Ответ:

Корни уравнения:

$$x_1 = -1, \quad x_{2,3} = \pm i\sqrt{2}, \quad x_4 = 4$$