ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1561 Алимов — Подробные Ответы

1. 16sin2x + 16cos2x=10;
2. (корень(3+ (корень 8))x + (корень(3- (корень 8))x=34.

1) $16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10 \quad | \cdot 16^{\cos^2 x};$

$16^{\sin^2 x + \cos^2 x} + 16^{\cos^2 x + \cos^2 x} = 10 \cdot 16^{\cos^2 x};$

$16^{1} + 16^{2\cos^2 x} — 10 \cdot 16^{\cos^2 x} + 16^{1} = 0;$

Пусть $y = 16^{\cos^2 x}$, тогда:

$y^2 — 10y + 16 = 0;$

$D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36, \text{тогда:}$

$y_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8;$

Первое значение:

$16^{\cos^2 x} = 2;$

$2^{4\cos^2 x} = 2^1;$

$4\cos^2 x = 1;$

$\cos^2 x = \frac{1}{4};$

$\cos x = \pm \frac{1}{2};$

$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Второе значение:

$16^{\cos^2 x} = 8;$

$2^{4\cos^2 x} = 2^3;$

$4\cos^2 x = 3;$

$\cos^2 x = \frac{3}{4};$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$

$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n; \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$

2) $\left( \sqrt{3 + \sqrt{8}} \right)^x + \left( \sqrt{3 — \sqrt{8}} \right)^x = 34;$

$\left( \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} \right)^x + \left( \sqrt{1 — 2\sqrt{2} + 2} \right)^x = 34;$

$\left( \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} \right)^x + \left( \sqrt{(1 — \sqrt{2})^2} \right)^x = 34;$

$|1 + \sqrt{2}|^x + |1 — \sqrt{2}|^x = 34;$

$(1 + \sqrt{2})^x + (\sqrt{2} — 1)^x — 34 = 0 \quad | \cdot (1 + \sqrt{2})^x;$

$(1 + \sqrt{2})^{2x} + (2 — 1)^x — 34(1 + \sqrt{2})^x = 0;$

$(1 + \sqrt{2})^{2x} — 34(1 + \sqrt{2})^x + 1 = 0;$

Пусть $y = (1 + \sqrt{2})^x$, тогда:

$y^2 — 34y + 1 = 0;$

$D = 34^2 — 4 \cdot 1 = 1156 — 4 = 1152 = 576 \cdot 2, \text{тогда:}$

$y = \frac{34 \pm \sqrt{1152}}{2} = \frac{34 \pm 24\sqrt{2}}{2} = 17 \pm 12\sqrt{2};$

$y = 9 \pm 12\sqrt{2} + 8 = (3 \pm 2\sqrt{2})^2 = (1 \pm 2\sqrt{2} + 2)^2 = (1 \pm \sqrt{2})^4;$

Первое значение:

$(1 + \sqrt{2})^x = (1 — \sqrt{2})^4 = \frac{(1 — \sqrt{2})^4 \cdot (1 + \sqrt{2})^4}{(1 + \sqrt{2})^4};$

$(1 + \sqrt{2})^x = \frac{(1 — 2)^4}{(1 + \sqrt{2})^4} = \frac{1}{(1 + \sqrt{2})^4} = (1 + \sqrt{2})^{-4};$

$x = -4;$

Второе значение:

$(1 + \sqrt{2})^x = (1 + \sqrt{2})^4;$

$x = 4;$

Ответ: $x = \pm 4.$

1) $16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10$

Шаг 1. Умножение обеих сторон на $16^{\cos^2 x}$

Для начала умножим обе части исходного уравнения на $16^{\cos^2 x}$, чтобы избавиться от одной из степеней:

$$16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10$$

Умножим обе стороны на $16^{\cos^2 x}$:

$$16^{\sin^2 x + \cos^2 x} + 16^{\cos^2 x + \cos^2 x} = 10 \cdot 16^{\cos^2 x}$$

Поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$16^1 + 16^{2\cos^2 x} = 10 \cdot 16^{\cos^2 x}$$

Упростим это:

$$16 + 16^{2\cos^2 x} = 10 \cdot 16^{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Подстановка

Теперь введем подстановку $y = 16^{\cos^2 x}$. Тогда:

$$y^2 = 16^{2\cos^2 x} \quad \text{и} \quad y = 16^{\cos^2 x}$$

Таким образом, уравнение превращается в квадратное:

$$16 + y^2 = 10y$$

Шаг 3. Перевод в стандартную форму

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 — 10y + 16 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение.

Шаг 4. Нахождение корней

Используем формулу для дискриминанта $D = b^2 — 4ac$, где $a = 1$, $b = -10$, и $c = 16$:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36$$

Корни квадратного уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$y_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8$$

Шаг 5. Решение для каждого значения $y$

Для $y_1 = 2$:

$$16^{\cos^2 x} = 2$$

Представляем это как степень 2:

$$2^{4\cos^2 x} = 2^1$$

Из этого следует:

$$4\cos^2 x = 1$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{4}$$

Тогда:

$$\cos x = \pm \frac{1}{2}$$

Решение для $x$:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Для $y_2 = 8$:

$$16^{\cos^2 x} = 8$$

Представляем это как степень 2:

$$2^{4\cos^2 x} = 2^3$$

Из этого следует:

$$4\cos^2 x = 3$$ $$\cos^2 x = \frac{3}{4}$$

Тогда:

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение для $x$:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

2) $\left( \sqrt{3 + \sqrt{8}} \right)^x + \left( \sqrt{3 — \sqrt{8}} \right)^x = 34$

Шаг 1. Упрощение подкоренных выражений

Для начала упростим выражения под квадратными корнями:

$$\sqrt{3 + \sqrt{8}} \quad \text{и} \quad \sqrt{3 — \sqrt{8}}$$

Для этого разложим $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, и тогда:

$$\sqrt{3 + \sqrt{8}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \quad \text{и} \quad \sqrt{3 — \sqrt{8}} = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\left( \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} \right)^x + \left( \sqrt{1 — 2\sqrt{2} + 2} \right)^x = 34$$

Преобразуем:

$$\left( \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} \right)^x + \left( \sqrt{(1 — \sqrt{2})^2} \right)^x = 34$$

Или, используя абсолютные значения:

$$|1 + \sqrt{2}|^x + |1 — \sqrt{2}|^x = 34$$

Теперь у нас есть:

$$(1 + \sqrt{2})^x + (\sqrt{2} — 1)^x = 34$$

Шаг 2. Умножение на $(1 + \sqrt{2})^x$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на $(1 + \sqrt{2})^x$:

$$(1 + \sqrt{2})^{2x} + (2 — 1)^x — 34(1 + \sqrt{2})^x = 0$$

Упрощаем:

$$(1 + \sqrt{2})^{2x} — 34(1 + \sqrt{2})^x + 1 = 0$$

Шаг 3. Подстановка

Пусть $y = (1 + \sqrt{2})^x$. Тогда уравнение становится:

$$y^2 — 34y + 1 = 0$$

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 34^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1156 — 4 = 1152$$ $$\sqrt{1152} = 24\sqrt{2}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$y = \frac{34 \pm 24\sqrt{2}}{2} = 17 \pm 12\sqrt{2}$$

Шаг 5. Решение для $x$

Переходим к значению $y$:

Для $y = (1 + \sqrt{2})^x = (1 — \sqrt{2})^4$:

$$(1 + \sqrt{2})^x = (1 + \sqrt{2})^{-4}$$

Следовательно:

$$x = -4$$

Для $y = (1 + \sqrt{2})^x = (1 + \sqrt{2})^4$:

$$x = 4$$

Ответ:

$$x = \pm 4$$