ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1560 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (1560—1566).

1. корень (х2 + 4x + 4) — корень(х2 — 6х + 9) =6;
2. корень 3 степени ((8 — х)2) — корень 3 степени((8 — х) (27 + х)) + корень 3 степени(27 + х)2 = 7;
3. корень 4 степени(8-x) + корень 4 степени (89 + x) = 5.

1) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} — \sqrt{x^2 — 6x + 9} = 6$;

$$\sqrt{(x+2)^2} — \sqrt{(x-3)^2} = 6;$$

Числа под знаком модуля:

$$x + 2 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -2;$$ $$x — 3 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 3;$$

Если $x \geq 3$, тогда:

$$x + 2 — (x — 3) = 6;$$ $$0x + 5 = 6;$$ $$0x = 1 \text{ — корней нет};$$

Если $-2 \leq x < 3$, тогда:

$$x + 2 + (x — 3) = 6;$$ $$2x — 1 = 6;$$ $$2x = 7, \text{ отсюда } x = 3.5;$$

Если $x < -2$, тогда:

$$-(x + 2) + (x — 3) = 6;$$ $$-x — 2 + x — 3 = 6;$$ $$0x — 5 = 6;$$ $$0x = 11 \text{ — корней нет};$$

Ответ: решений нет.

2) $\sqrt[3]{(8-x)^2} — \sqrt[3]{(8-x)(27+x)} + \sqrt[3]{(27+x)^2} = 7$;

Пусть $y = \sqrt[3]{8-x}$ и $z = \sqrt[3]{27+x}$, тогда:

$$y^3 + z^3 = 8 — x + 27 + x = 35;$$ $$(y+z)(y^2 — yz + z^2) = 35;$$

Исходное уравнение:

$$y^2 — yz + z^2 = 7;$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$y + z = 5, \text{ отсюда } z = 5 — y;$$

Подставим значение $z$ во второе уравнение:

$$y^2 — y(5-y) + (5-y)^2 = 7;$$ $$y^2 — 5y + y^2 + 25 — 10y + y^2 — 7 = 0;$$ $$3y^2 — 15y + 18 = 0;$$ $$y^2 — 5y + 6 = 0;$$

Дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\sqrt[3]{8-x} = 2;$$ $$8 — x = 8, \text{ отсюда } x = 0;$$

Второе значение:

$$\sqrt[3]{8-x} = 3;$$ $$8 — x = 27, \text{ отсюда } x = -19;$$

Ответ: $x_1 = -19; \, x_2 = 0$.

3) $\sqrt[4]{8-x} + \sqrt[4]{89+x} = 5$;

$$\sqrt[4]{8-x} + \sqrt[4]{89+x} + 2\sqrt[4]{(8-x)(89+x)} = 25;$$

Пусть $y = \sqrt[4]{8-x}$ и $z = \sqrt[4]{89+x}$, тогда:

$$y^4 + z^4 = 8 — x + 89 + x = 97;$$

Исходное уравнение:

$$y + z = 5, \text{ отсюда } z = 5 — y;$$

Подставим значение $z$ в первое уравнение:

$$y^4 + (5-y)^4 = 97;$$ $$y^4 + 625 — 4 \cdot 125y + 6 \cdot 25y^2 — 4 \cdot 5y^3 + y^4 — 97 = 0;$$ $$2y^4 — 20y^3 + 150y^2 — 500y + 528 = 0;$$ $$y^4 — 10y^3 + 75y^2 — 250y + 264 = 0;$$ $$(y^2 — 5y + 6)(y^2 — 5y + 44) = 0;$$ $$(y-2)(y-3)(y^2 — 5y + 44) = 0;$$

Дискриминант:

$$D = 5^2 — 44 = 25 — 44 = -19 < 0;$$ $$y_1 = 2 \text{ и } y_2 = 3;$$

Первое значение:

$$\sqrt[4]{8-x} = 2;$$ $$8 — x = 16, \text{ отсюда } x = -8;$$

Второе значение:

$$\sqrt[4]{8-x} = 3;$$ $$8 — x = 81, \text{ отсюда } x = -73;$$

Ответ: $x_1 = -73; \, x_2 = -8$.

1) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} — \sqrt{x^2 — 6x + 9} = 6$

Решим данное уравнение.

Приведение выражений под корнями к удобному виду:

Приведём выражения под корнями к квадратам binomials:

$$\sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2}, \quad \sqrt{x^2 — 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2}$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\sqrt{(x+2)^2} — \sqrt{(x-3)^2} = 6$$

Рассмотрим возможные случаи для выражений с модулем:

Так как под каждым квадратным корнем стоит квадрат, это означает, что мы имеем дело с модулями.

Случай 1: $x + 2 \geq 0$ и $x — 3 \geq 0$

• Если $x + 2 \geq 0$, то $x \geq -2$.
• Если $x — 3 \geq 0$, то $x \geq 3$.

Наименьшее значение для $x$ в этом случае — $x \geq 3$.

Для $x \geq 3$ модуль можно удалить:

$$|x+2| = x + 2, \quad |x-3| = x — 3$$

Тогда уравнение примет вид:

$$(x + 2) — (x — 3) = 6$$

Упростим:

$$x + 2 — x + 3 = 6$$ $$5 = 6$$

Это противоречие, значит, для $x \geq 3$ решений нет.

Случай 2: $-2 \leq x < 3$

• Если $-2 \leq x < 3$, то $x + 2 \geq 0$, и $x — 3 < 0$.
• В этом случае $|x + 2| = x + 2$, и $|x — 3| = -(x — 3) = -x + 3$.

Уравнение будет:

$$(x + 2) — (-x + 3) = 6$$

Упростим:

$$x + 2 + x — 3 = 6$$ $$2x — 1 = 6$$ $$2x = 7$$ $$x = \frac{7}{2} = 3.5$$

Но для $x = 3.5$ мы видим, что оно не удовлетворяет условию $-2 \leq x < 3$. Это противоречие, значит, решений в этом промежутке тоже нет.

Случай 3: $x < -2$

• Если $x < -2$, то $x + 2 < 0$ и $x — 3 < 0$.
• В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x — 2$, и $|x — 3| = -(x — 3) = -x + 3$.

Уравнение будет:

$$(-x — 2) — (-x + 3) = 6$$

Упростим:

$$-x — 2 + x — 3 = 6$$ $$-5 = 6$$

Это также противоречие, следовательно, решений нет и для этого случая.

Ответ: решений нет.

2) $\sqrt[3]{(8-x)^2} — \sqrt[3]{(8-x)(27+x)} + \sqrt[3]{(27+x)^2} = 7$

Введение подстановок:

Для упрощения введем новые переменные:

$$y = \sqrt[3]{8 — x}, \quad z = \sqrt[3]{27 + x}$$

Тогда:

$$y^3 = 8 — x, \quad z^3 = 27 + x$$

Теперь перепишем уравнение:

$$y^2 — yz + z^2 = 7$$

и

$$y^3 + z^3 = (8 — x) + (27 + x) = 35$$

Используем формулу суммы кубов:

$$y^3 + z^3 = (y + z)(y^2 — yz + z^2)$$

Подставим:

$$(y + z)(y^2 — yz + z^2) = 35$$

Подставим $y^2 — yz + z^2 = 7$:

$$(y + z) \cdot 7 = 35$$

Отсюда:

$$y + z = 5$$

Нахождение значения $z$:

$$z = 5 — y$$

Подставим $z$ в уравнение $y^2 — yz + z^2 = 7$:

Подставим $z = 5 — y$ в $y^2 — yz + z^2 = 7$:

$$y^2 — y(5 — y) + (5 — y)^2 = 7$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — 5y + y^2 + 25 — 10y + y^2 — 7 = 0$$

Упростим:

$$3y^2 — 15y + 18 = 0$$

Решим это квадратное уравнение:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Нахождение значений $x$:

• Для $y_1 = 2$:

$$\sqrt[3]{8 — x} = 2 \quad \Rightarrow \quad 8 — x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

• Для $y_2 = 3$:

$$\sqrt[3]{8 — x} = 3 \quad \Rightarrow \quad 8 — x = 27 \quad \Rightarrow \quad x = -19$$

Ответ: $x_1 = -19, x_2 = 0$.

3) $\sqrt[4]{8-x} + \sqrt[4]{89+x} = 5$

Введение подстановок:

Для упрощения введем новые переменные:

$$y = \sqrt[4]{8 — x}, \quad z = \sqrt[4]{89 + x}$$

Тогда:

$$y^4 = 8 — x, \quad z^4 = 89 + x$$

Теперь перепишем уравнение:

$$y + z = 5$$

Исходное уравнение для произведений:

Исходное уравнение:

$$\sqrt[4]{8-x} + \sqrt[4]{89+x} + 2\sqrt[4]{(8-x)(89+x)} = 25$$

Пусть:

$$y + z = 5, \quad z = 5 — y$$

Подставим $z$ в первое уравнение:

$$y^4 + (5 — y)^4 = 97$$

Раскроем:

$$y^4 + 625 — 4 \cdot 125y + 6 \cdot 25y^2 — 4 \cdot 5y^3 + y^4 — 97 = 0$$

Упростим:

$$2y^4 — 20y^3 + 150y^2 — 500y + 528 = 0$$ $$y^4 — 10y^3 + 75y^2 — 250y + 264 = 0$$

Это уравнение можно разложить:

$$(y^2 — 5y + 6)(y^2 — 5y + 44) = 0$$

Решения из первого множителя:

$$(y-2)(y-3) = 0$$

Таким образом, $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Нахождение значений $x$:

• Для $y_1 = 2$:

$$\sqrt[4]{8 — x} = 2 \quad \Rightarrow \quad 8 — x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = -8$$

• Для $y_2 = 3$:

$$\sqrt[4]{8 — x} = 3 \quad \Rightarrow \quad 8 — x = 81 \quad \Rightarrow \quad x = -73$$

Ответ: $x_1 = -73, x_2 = -8$.