ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 156 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (2x-34) = 1 + корень x;
2. корень 5x + корень (14-x) = 8;
3. корень(15+x) + корень (3+x) =6;
4. корень (3-2x) — корень (1-x) = 1.

1)

$$\sqrt{2x — 34} = 1 + \sqrt{x};$$

$$2x — 34 = (1 + \sqrt{x})^2;$$

$$2x — 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x;$$

$$x — 35 = 2\sqrt{x};$$

$$(x — 35)^2 = 4x;$$

$$x^2 — 70x + 1225 — 4x = 0;$$

$$x^2 — 74x + 1225 = 0;$$

$$D = 74^2 — 4 \cdot 1225 = 5476 — 4900 = 576, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{74 — 24}{2} = 25 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{74 + 24}{2} = 49;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{2 \cdot 25 — 34} — \sqrt{25} = \sqrt{50 — 34} — 5 = \sqrt{16} — 5 = 4 — 5 = -1;$$

$$\sqrt{2 \cdot 49 — 34} — \sqrt{49} = \sqrt{98 — 34} — 7 = \sqrt{64} — 7 = 8 — 7 = 1;$$

Ответ:

$x = 49$

.

2)

$$\sqrt{5x} + \sqrt{14 — x} = 8;$$

$$(\sqrt{5x} + \sqrt{14 — x})^2 = 64;$$

$$5x + 2\sqrt{5x(14 — x)} + 14 — x = 64;$$

$$2\sqrt{5x(14 — x)} = 50 — 4x;$$

$$4(70x — 5x^2) = (50 — 4x)^2;$$

$$280x — 20x^2 = 2500 — 400x + 16x^2;$$

$$36x^2 — 680x + 2500 = 0;$$

$$9x^2 — 170x + 625 = 0;$$

$$D = 170^2 — 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 — 22500 = 6400, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{170 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{170 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{250}{18} = 13 \frac{8}{9};$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 — 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8;$$

$$\sqrt{5 \cdot \frac{250}{18}} + \sqrt{14 — \frac{250}{18}} = \sqrt{\frac{69}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}} > 8;$$

Ответ:

$x = 5$

.

3)

$$\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6;$$

$$(\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x})^2 = 36;$$

$$15 + x + 2\sqrt{(15 + x)(3 + x)} + 3 + x = 36;$$

$$2\sqrt{45 + 15x + 3x + x^2} = 18 — 2x;$$

$$4(x^2 + 18x + 45) = (18 — 2x)^2;$$

$$4x^2 + 72x + 180 = 324 — 72x + 4x^2;$$

$$72x + 72x = 324 — 180;$$

$$144x = 144;$$

$$x = 1;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{15 + 1} + \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6;$$

Ответ:

$x = 1$

.

4)

$$\sqrt{3 — 2x} — \sqrt{1 — x} = 1;$$

$$(\sqrt{3 — 2x} — \sqrt{1 — x})^2 = 1;$$

$$3 — 2x — 2\sqrt{(3 — 2x)(1 — x)} + 1 — x = 1;$$

$$3 — 3x = 2\sqrt{3 — 3x — 2x + 2x^2};$$

$$(3 — 3x)^2 = 4(2x^2 — 5x + 3);$$

$$9 — 18x + 9x^2 = 8x^2 — 20x + 12;$$

$$x^2 + 2x — 3 = 0;$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{3 — 2 \cdot (-3)} — \sqrt{1 — (-3)} = \sqrt{3 + 6} — \sqrt{1 + 3} = \sqrt{9} — \sqrt{4} = 3 — 2 = 1;$$

$$\sqrt{3 — 2 \cdot 1} — \sqrt{1 — 1} = \sqrt{3 — 2} — \sqrt{0} = \sqrt{1} — 0 = 1 — 0 = 1;$$

Ответ:

$x_1 = -3; \quad x_2 = 1$

.

$$\boxed{x = 49, \, x = 5, \, x = 1, \, x_1 = -3, \, x_2 = 1}$$

1)

Уравнение:

$$\sqrt{2x — 34} = 1 + \sqrt{x}.$$

Для того чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{2x — 34})^2 = (1 + \sqrt{x})^2.$$

Слева:

$$2x — 34.$$

Справа:

$$(1 + \sqrt{x})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x.$$

Итак, получаем уравнение:

$$2x — 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x.$$

Переносим все элементы, содержащие

$x$

, на одну сторону:

$$2x — x — 34 — 1 = 2\sqrt{x},$$

$$x — 35 = 2\sqrt{x}.$$

Теперь снова возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$(x — 35)^2 = (2\sqrt{x})^2.$$

Слева:

$$(x — 35)^2 = x^2 — 70x + 1225.$$

Справа:

$$(2\sqrt{x})^2 = 4x.$$

Получаем уравнение:

$$x^2 — 70x + 1225 = 4x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 — 70x + 1225 — 4x = 0,$$

$$x^2 — 74x + 1225 = 0.$$

Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$$D = (-74)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1225 = 5476 — 4900 = 576.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-74) — \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{74 — 24}{2} = 25,$$

$$x_2 = \frac{-(-74) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{74 + 24}{2} = 49.$$

Проверка:

Проверим

$x = 25$

в исходном уравнении:

$$\sqrt{2 \cdot 25 — 34} — \sqrt{25} = \sqrt{50 — 34} — 5 = \sqrt{16} — 5 = 4 — 5 = -1,$$

что не равно правой части уравнения. Значит,

$x = 25$

— не решение.

Проверим

$x = 49$

в исходном уравнении:

$$\sqrt{2 \cdot 49 — 34} — \sqrt{49} = \sqrt{98 — 34} — 7 = \sqrt{64} — 7 = 8 — 7 = 1,$$

что соответствует правой части уравнения. Значит,

$x = 49$

— решение.

Ответ:

$x = 49$

.

2)

Уравнение:

$$\sqrt{5x} + \sqrt{14 — x} = 8.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{5x} + \sqrt{14 — x})^2 = 64.$$

Слева:

$$(\sqrt{5x})^2 + 2 \cdot \sqrt{5x} \cdot \sqrt{14 — x} + (\sqrt{14 — x})^2 = 5x + 2\sqrt{5x(14 — x)} + 14 — x.$$

Итак, получаем:

$$5x + 14 — x + 2\sqrt{5x(14 — x)} = 64,$$

$$4x + 14 + 2\sqrt{5x(14 — x)} = 64,$$

$$2\sqrt{5x(14 — x)} = 50 — 4x.$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$4 \cdot 5x(14 — x) = (50 — 4x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$4(70x — 5x^2) = 2500 — 400x + 16x^2,$$

$$280x — 20x^2 = 2500 — 400x + 16x^2.$$

Переносим все на одну сторону:

$$280x — 20x^2 — 2500 + 400x — 16x^2 = 0,$$

$$36x^2 — 680x + 2500 = 0.$$

Решаем это квадратное уравнение:

$$9x^2 — 170x + 625 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-170)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 — 22500 = 6400.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-170) — \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 — 80}{18} = \frac{90}{18} = 5,$$

$$x_2 = \frac{-(-170) + \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170 + 80}{18} = \frac{250}{18} = 13 \frac{8}{9}.$$

Проверка:

Проверим

$x = 5$

:

$$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 — 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8.$$

Проверим

$x = 13 \frac{8}{9}$

:

$$\sqrt{5 \cdot \frac{250}{18}} + \sqrt{14 — \frac{250}{18}} = \sqrt{\frac{69}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}} > 8.$$

Ответ:

$x = 5$

.

3)

Уравнение:

$$\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x} = 6.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{15 + x} + \sqrt{3 + x})^2 = 36.$$

Слева:

$$(\sqrt{15 + x})^2 + 2 \cdot \sqrt{15 + x} \cdot \sqrt{3 + x} + (\sqrt{3 + x})^2 = 15 + x + 3 + x + 2\sqrt{(15 + x)(3 + x)}.$$

Получаем:

$$15 + x + 3 + x + 2\sqrt{(15 + x)(3 + x)} = 36,$$

$$18 + 2x + 2\sqrt{(15 + x)(3 + x)} = 36,$$

$$2x + 2\sqrt{(15 + x)(3 + x)} = 18,$$

$$x + \sqrt{(15 + x)(3 + x)} = 9.$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$(x + \sqrt{(15 + x)(3 + x)})^2 = 9^2 = 81.$$

После выполнения всех вычислений находим:

$$x = 1.$$

Проверка:

Проверим

$x = 1$

:

$$\sqrt{15 + 1} + \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6.$$

Ответ:

$x = 1$

.

4)

Уравнение:

$$\sqrt{3 — 2x} — \sqrt{1 — x} = 1.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{3 — 2x} — \sqrt{1 — x})^2 = 1^2.$$

Раскрываем квадрат:

$$(3 — 2x) — 2\sqrt{(3 — 2x)(1 — x)} + (1 — x) = 1.$$

Преобразуем:

$$3 — 3x — 2\sqrt{(3 — 2x)(1 — x)} = 1.$$

Продолжим решение, а затем получим два корня

$x_1 = -3$

и

$x_2 = 1$

.

Проверка:

Проверим

$x_1 = -3$

и

$x_2 = 1$

в исходном уравнении и убеждаемся, что оба значения подходят.

Ответ:

$x_1 = -3, x_2 = 1$

.

$$\boxed{x = 49, \, x = 5, \, x = 1, \, x_1 = -3, \, x_2 = 1}$$