ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1558 Алимов — Подробные Ответы

Для функции f(x) = cos 4х найти первообразную F (x), если F(пи/24)=-1.

Дано:

1. Функция $f(x) = \cos 4x$.
2. Условие: $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1$.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Первообразная функции $f(x) = \cos 4x$ имеет вид:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Шаг 2: Определение значения $C$

Используем условие $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1$:

$$F\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{4} \sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) + C.$$

Вычисляем аргумент синуса:

$$4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}.$$

Подставляем в формулу:

$$-1 = \frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) + C.$$

Значение синуса:

$$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.$$

Подставляем значение синуса:

$$-1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + C.$$

Продолжаем вычисления:

$$-1 = \frac{1}{8} + C.$$

Находим $C$:

$$C = -1 — \frac{1}{8} = -\frac{8}{8} — \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}.$$

Шаг 3: Искомая первообразная

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x — \frac{9}{8}.$$

Преобразуем выражение:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x — \frac{9}{8} = \frac{1}{8} (2 \sin 4x — 9).$$

Ответ:

$$\boxed{F(x) = \frac{1}{8} (2 \sin 4x — 9)}.$$

Даны:

1. Функция $f(x) = \cos 4x$.
2. Условие: $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1$.

Необходимо найти первообразную для функции $f(x)$ с учётом заданного условия.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

1.1 Первообразная функции $f(x) = \cos 4x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos 4x$, будем использовать стандартное правило интегрирования для функции $\cos(ax)$, где $a$ — константа:

$$\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

В нашем случае $a = 4$, поэтому первообразная функции $f(x) = \cos 4x$ будет:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная, которую мы определим в дальнейшем.

Шаг 2: Определение значения $C$

Для определения значения постоянной $C$, используем заданное условие:

$$F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1.$$

Подставим $x = \frac{\pi}{24}$ в выражение для $F(x)$:

$$F\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{4} \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) + C.$$

2.1 Вычисление аргумента синуса

Вычислим аргумент синуса:

$$4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}.$$

Теперь подставим это значение в синус:

$$F\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{4} \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C.$$

2.2 Значение синуса

Известно, что:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.$$

Подставим это значение в выражение для $F\left(\frac{\pi}{24}\right)$:

$$-1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + C.$$

2.3 Упрощение выражения

Упростим правую часть:

$$-1 = \frac{1}{8} + C.$$

2.4 Находим значение $C$

Теперь найдём значение постоянной $C$:

$$C = -1 — \frac{1}{8} = -\frac{8}{8} — \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}.$$

Шаг 3: Искомая первообразная

Теперь, когда мы нашли значение $C = -\frac{9}{8}$, подставим его в формулу для первообразной:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x — \frac{9}{8}.$$

3.1 Преобразование выражения

Мы можем немного преобразовать выражение для $F(x)$. Объединим дроби:

$$F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x — \frac{9}{8} = \frac{1}{8} (2 \sin 4x — 9).$$

Ответ

Таким образом, искомая первообразная функции $f(x) = \cos 4x$ с учётом условия $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1$ имеет вид:

$$\boxed{F(x) = \frac{1}{8} (2 \sin 4x — 9)}.$$