ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1557 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых f’ (х) < = g’ (х), если f(x) = х3 + х2 + х корень 3, g (х) = х (корень 3) + 1.

Даны функции:

$$f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$$ $$g(x) = x\sqrt{3} + 1$$

Производные функций:

$$f'(x) = (x^3)’ + (x^2)’ + \sqrt{3}(x)’ = 3x^2 + 2x + \sqrt{3}$$ $$g'(x) = \sqrt{3}(x)’ + (1)’ = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$$

Неравенство выполняется при:

$$f'(x) \leq g'(x)$$ $$3x^2 + 2x + \sqrt{3} \leq \sqrt{3}$$ $$3x^2 + 2x \leq 0$$ $$(3x + 2) \cdot x \leq 0$$ $$-\frac{2}{3} \leq x \leq 0$$

Ответ: $x \in \left[ -\frac{2}{3}, 0 \right]$.

Даны две функции:

$$f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$$ $$g(x) = x\sqrt{3} + 1$$

Необходимо найти значение $x$, при котором выполняется неравенство $f'(x) \leq g'(x)$.

Шаг 1: Находим производные функций $f(x)$ и $g(x)$

1.1 Производная функции $f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$

Для нахождения производной функции $f(x)$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$.
• Производная от $x^2$ — это $2x$.
• Производная от $x\sqrt{3}$ — это $\sqrt{3}$, так как $\sqrt{3}$ является константой.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 3x^2 + 2x + \sqrt{3}.$$

1.2 Производная функции $g(x) = x\sqrt{3} + 1$

Аналогично, для функции $g(x)$:

• Производная от $x\sqrt{3}$ — это $\sqrt{3}$, так как $\sqrt{3}$ — константа.
• Производная от $1$ — это $0$, так как производная от константы равна нулю.

Таким образом, производная функции $g(x)$ будет:

$$g'(x) = \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Составляем неравенство

Теперь, зная производные функций, нам нужно решить неравенство:

$$f'(x) \leq g'(x).$$

Подставляем выражения для $f'(x)$ и $g'(x)$:

$$3x^2 + 2x + \sqrt{3} \leq \sqrt{3}.$$

Шаг 3: Упрощаем неравенство

Теперь упростим это неравенство. Переносим $\sqrt{3}$ в правую часть:

$$3x^2 + 2x \leq 0.$$

Шаг 4: Решаем неравенство

У нас получилось квадратное неравенство:

$$3x^2 + 2x \leq 0.$$

Для решения этого неравенства факторизуем его:

$$x(3x + 2) \leq 0.$$

Теперь решим это неравенство. Для этого рассмотрим корни уравнения $x(3x + 2) = 0$:

• $x = 0$,
• $3x + 2 = 0$, что даёт $x = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, у нас есть два корня: $x = 0$ и $x = -\frac{2}{3}$.

Шаг 5: Определяем знак произведения

Теперь нужно определить, где произведение $x(3x + 2)$ будет меньше либо равно нулю. Для этого делим числовую ось на интервалы, используя найденные корни:

• $x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)$,
• $x \in \left[-\frac{2}{3}, 0\right]$,
• $x \in \left(0, +\infty\right)$.

Проверим знак выражения $x(3x + 2)$ на этих интервалах:

1. На интервале $(-\infty, -\frac{2}{3})$, выбираем $x = -1$:

   $$(-1)(3(-1) + 2) = (-1)(-1) = 1 \quad (\text{положительное число}).$$

2. На интервале $[-\frac{2}{3}, 0]$, выбираем $x = -\frac{1}{2}$:

   $$\left(-\frac{1}{2}\right)\left(3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \quad (\text{положительное число}).$$

3. На интервале $(0, +\infty)$, выбираем $x = 1$:

   $$(1)(3(1) + 2) = (1)(5) = 5 \quad (\text{положительное число}).$$

Шаг 6: Вывод

Таким образом, неравенство $x(3x + 2) \leq 0$ выполняется на интервале $\left[ -\frac{2}{3}, 0 \right]$.

Ответ

Ответ: $x \in \left[ -\frac{2}{3}, 0 \right]$.