ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1556 Алимов — Подробные Ответы

Дана функция f (x) =(1+sin2x)/(1-sin2x). Найти f'(x), f'(пи/6).

Функция:

$$f(x) = \frac{1 + \sin 2x}{1 — \sin 2x}$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(1 + \sin 2x)’ \cdot (1 — \sin 2x) — (1 + \sin 2x) \cdot (1 — \sin 2x)’}{(1 — \sin 2x)^2}$$

Расчет производных:

$$(1 + \sin 2x)’ = 2 \cos 2x$$ $$(1 — \sin 2x)’ = -2 \cos 2x$$

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (1 — \sin 2x) — (1 + \sin 2x) \cdot (-2 \cos 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}$$

Упрощаем числитель:

$$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (1 — \sin 2x) + 2 \cos 2x \cdot (1 + \sin 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (1 — \sin 2x + 1 + \sin 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot 2}{(1 — \sin 2x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4 \cos 2x}{(1 — \sin 2x)^2}$$

Значения производной:

При $x = 0$:

$$f'(0) = \frac{4 \cos(2 \cdot 0)}{(1 — \sin(2 \cdot 0))^2}$$ $$f'(0) = \frac{4 \cos 0}{(1 — \sin 0)^2}$$ $$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{(1 — 0)^2}$$ $$f'(0) = \frac{4}{1^2} = 4$$

При $x = \frac{\pi}{6}$:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)}{\left(1 — \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right)^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right)}{\left(1 — \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right)^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\left(1 — \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\left(1 — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\left(\frac{2 — \sqrt{3}}{2}\right)^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\frac{(2 — \sqrt{3})^2}{4}}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8}{(2 — \sqrt{3})^2}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8}{4 — 4\sqrt{3} + 3}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8}{7 — 4\sqrt{3}}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{(7 — 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{49 — 48}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{1}$$ $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 8(7 + 4\sqrt{3})$$

Дана функция:

$$f(x) = \frac{1 + \sin 2x}{1 — \sin 2x}$$

Необходимо найти производную функции $f(x)$.

Шаг 1: Применение правила дифференцирования частного

Функция $f(x)$ представлена в виде частного двух функций, поэтому для нахождения её производной будем использовать правило дифференцирования частного.

Если $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, то производная функции $f(x)$ по правилу частного:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2},$$

где $g(x) = 1 + \sin 2x$ и $h(x) = 1 — \sin 2x$.

Шаг 2: Находим производные $g(x)$ и $h(x)$

• Для функции $g(x) = 1 + \sin 2x$, применяем правило дифференцирования суммы и цепное правило для синуса:

$$g'(x) = (\sin 2x)’ = 2 \cos 2x.$$

• Для функции $h(x) = 1 — \sin 2x$, аналогично применяем цепное правило:

$$h'(x) = (-\sin 2x)’ = -2 \cos 2x.$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим найденные производные $g'(x)$ и $h'(x)$ в формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}.$$

Подставляем выражения для $g(x)$, $g'(x)$, $h(x)$ и $h'(x)$:

$$f'(x) = \frac{(2 \cos 2x) \cdot (1 — \sin 2x) — (1 + \sin 2x) \cdot (-2 \cos 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}.$$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Приведем выражение для числителя:

$$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (1 — \sin 2x) + 2 \cos 2x \cdot (1 + \sin 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}.$$

Теперь упростим числитель:

$$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (1 — \sin 2x + 1 + \sin 2x)}{(1 — \sin 2x)^2}.$$

Скобки в числителе раскрываются, и мы получаем:

$$f'(x) = \frac{2 \cos 2x \cdot (2)}{(1 — \sin 2x)^2}.$$

Теперь упростим:

$$f'(x) = \frac{4 \cos 2x}{(1 — \sin 2x)^2}.$$

Это и есть искомая производная функции $f(x)$.

Шаг 5: Находим значения производной для конкретных значений $x$

Теперь найдём производную функции $f'(x)$ в конкретных точках.

При $x = 0$:

Подставим $x = 0$ в выражение для $f'(x)$:

$$f'(0) = \frac{4 \cos(2 \cdot 0)}{(1 — \sin(2 \cdot 0))^2}.$$

Вычисляем:

$$f'(0) = \frac{4 \cos 0}{(1 — \sin 0)^2}.$$

Поскольку $\cos 0 = 1$ и $\sin 0 = 0$, то:

$$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{(1 — 0)^2} = \frac{4}{1^2} = 4.$$

Итак, $f'(0) = 4$.

При $x = \frac{\pi}{6}$:

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для $f'(x)$:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)}{\left(1 — \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right)^2}.$$

Упростим:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right)}{\left(1 — \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right)^2}.$$

Значения $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дают:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\left(1 — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.$$

Упростим:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\left(\frac{2 — \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{2}{\frac{(2 — \sqrt{3})^2}{4}} = \frac{8}{(2 — \sqrt{3})^2}.$$

Теперь раскроем квадрат в знаменателе:

$$(2 — \sqrt{3})^2 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 = 7 — 4\sqrt{3}.$$

Итак:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8}{7 — 4\sqrt{3}}.$$

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $7 + 4\sqrt{3}$:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{(7 — 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(7 — 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 49 — (4\sqrt{3})^2 = 49 — 48 = 1.$$

Таким образом:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 8(7 + 4\sqrt{3}).$$

Ответ

Производная функции в точке $x = 0$:

$$f'(0) = 4.$$

Производная функции в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 8(7 + 4\sqrt{3}).$$