ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1551 Алимов — Подробные Ответы

1. y=(3×2-2x+1)/(x+1);
2. y=(2×2-3x+1)/(2x+1).

$y = \frac{3x^2 — 2x + 1}{x + 1}$;

$y'(x) = \frac{(3x^2 — 2x + 1)’ \cdot (x + 1) — (3x^2 — 2x + 1) \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{(3 \cdot 2x — 2) \cdot (x + 1) — (3x^2 — 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{6x^2 + 6x — 2x — 2 — 3x^2 + 2x — 1}{(x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{3x^2 + 6x — 3}{(x + 1)^2} = \frac{3(x^2 + 2x — 1)}{(x + 1)^2}$;

$y = \frac{2x^2 — 3x + 1}{2x + 1}$;

$y'(x) = \frac{(2x^2 — 3x + 1)’ \cdot (2x + 1) — (2x^2 — 3x + 1) \cdot (2x + 1)’}{(2x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{(2 \cdot 2x — 3) \cdot (2x + 1) — (2x^2 — 3x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{8x^2 + 4x — 6x — 3 — 4x^2 + 6x — 2}{(2x + 1)^2}$;

$y'(x) = \frac{4x^2 + 4x — 5}{(2x + 1)^2}$

1) $y = \frac{3x^2 — 2x + 1}{x + 1}$

Нам нужно найти производную функции $y$. Для этого применим правило дифференцирования частного.

Правило дифференцирования частного для функции $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ гласит:

$$y'(x) = \frac{u'(x) v(x) — u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}$$

где $u(x) = 3x^2 — 2x + 1$ и $v(x) = x + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u(x) = 3x^2 — 2x + 1$, следовательно:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 — 2x + 1) = 6x — 2$$

• $v(x) = x + 1$, следовательно:

$$v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1$$

Подставим в формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{(6x — 2) \cdot (x + 1) — (3x^2 — 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

• Умножим $(6x — 2)$ на $(x + 1)$:

$$(6x — 2)(x + 1) = 6x(x + 1) — 2(x + 1) = 6x^2 + 6x — 2x — 2 = 6x^2 + 4x — 2$$

• Теперь вычитаем $(3x^2 — 2x + 1)$ (умноженное на 1):

$$(3x^2 — 2x + 1) = 3x^2 — 2x + 1$$

• Итоговый числитель:

$$6x^2 + 4x — 2 — (3x^2 — 2x + 1) = 6x^2 + 4x — 2 — 3x^2 + 2x — 1 = 3x^2 + 6x — 3$$

Получаем производную:

$$y'(x) = \frac{3x^2 + 6x — 3}{(x + 1)^2}$$

Для упрощения можно вынести 3 за скобки в числителе:

$$y'(x) = \frac{3(x^2 + 2x — 1)}{(x + 1)^2}$$

2) $y = \frac{2x^2 — 3x + 1}{2x + 1}$

Теперь найдем производную второй функции. Снова применим правило дифференцирования частного.

Для функции $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ имеем:

$$y'(x) = \frac{u'(x) v(x) — u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}$$

где $u(x) = 2x^2 — 3x + 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u(x) = 2x^2 — 3x + 1$, следовательно:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 — 3x + 1) = 4x — 3$$

• $v(x) = 2x + 1$, следовательно:

$$v'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$$

Подставим в формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{(4x — 3) \cdot (2x + 1) — (2x^2 — 3x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

• Умножим $(4x — 3)$ на $(2x + 1)$:

$$(4x — 3)(2x + 1) = 4x(2x + 1) — 3(2x + 1) = 8x^2 + 4x — 6x — 3 = 8x^2 — 2x — 3$$

• Теперь вычитаем $(2x^2 — 3x + 1)$ (умноженное на 2):

$$2(2x^2 — 3x + 1) = 4x^2 — 6x + 2$$

• Итоговый числитель:

$$8x^2 — 2x — 3 — (4x^2 — 6x + 2) = 8x^2 — 2x — 3 — 4x^2 + 6x — 2 = 4x^2 + 4x — 5$$

Получаем производную:

$$y'(x) = \frac{4x^2 + 4x — 5}{(2x + 1)^2}$$

Итоговые ответы:

1. $y'(x) = \frac{3(x^2 + 2x — 1)}{(x + 1)^2}$
2. $y'(x) = \frac{4x^2 + 4x — 5}{(2x + 1)^2}$