ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 155 Алимов — Подробные Ответы

1. корень x — x = -12;
2. x + корень x = 2(x-1);
3. корень (x-1) = x-3;
4. корень (6+x-x2) = 1-x.

1)

$\sqrt{x} — x = -12$

;

$$\sqrt{x} = x — 12;$$

$$x = (x — 12)^2;$$

$$x = x^2 — 24x + 144;$$

$$x^2 — 25x + 144 = 0;$$

$$D = 25^2 — 4 \cdot 144 = 625 — 576 = 49, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{25 — 7}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x — 12 \geq 0;$$

$$x \geq 12;$$

Ответ:

$x = 16$

.

2)

$x + \sqrt{x} = 2(x — 1)$

;

$$\sqrt{x} = 2x — 2 — x;$$

$$\sqrt{x} = x — 2;$$

$$x = (x — 2)^2;$$

$$x = x^2 — 4x + 4;$$

$$x^2 — 5x + 4 = 0;$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x — 2 \geq 0;$$

$$x \geq 2;$$

Ответ:

$x = 4$

.

3)

$\sqrt{x — 1} = x — 3$

;

$$x — 1 = (x — 3)^2;$$

$$x — 1 = x^2 — 6x + 9;$$

$$x^2 — 7x + 10 = 0;$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 \geq 0;$$

$$x \geq 1;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x — 3 \geq 0;$$

$$x \geq 3;$$

Ответ:

$x = 5$

.

4)

$\sqrt{6 + x — x^2} = 1 — x$

;

$$6 + x — x^2 = (1 — x)^2;$$

$$6 + x — x^2 = 1 — 2x + x^2;$$

$$2x^2 — 3x — 5 = 0;$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$

$$x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$6 + x — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 — x — 6 \leq 0;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$

$$(x + 2)(x — 3) \leq 0;$$

$$-2 \leq x \leq 3;$$

Уравнение имеет решения при:

$$1 — x \geq 0;$$

$$x \leq 1;$$

Ответ:

$x = -1$

.

1)

$\sqrt{x} — x = -12$

Шаг 1. Переносим

$x$

в правую часть:

$$\sqrt{x} = x — 12$$

Шаг 2. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$x = (x — 12)^2$$

Шаг 3. Раскрываем скобки:

$$x = x^2 — 24x + 144$$

Шаг 4. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 25x + 144 = 0$$

Шаг 5. Находим дискриминант

$D$

для квадратного уравнения:

$$D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 — 576 = 49$$

Шаг 6. Находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-(-25) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 — 7}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 7}{2} = 16$$

Шаг 7. Проводим анализ области допустимых значений. Поскольку

$\sqrt{x}$

существует при

$x \geq 0$

, то:

$$x \geq 0$$

Шаг 8. Уравнение

$\sqrt{x} = x — 12$

имеет смысл при

$x — 12 \geq 0$

, то есть:

$$x \geq 12$$

Шаг 9. Сравниваем найденные значения с областью допустимых значений:

• 
  $x_1 = 9$ 

  не удовлетворяет условию $x \geq 12$ 

  .

• 
  $x_2 = 16$ 

  удовлетворяет условию $x \geq 12$ 

  .

Ответ:

$x = 16$

.

2)

$x + \sqrt{x} = 2(x — 1)$

Шаг 1. Переносим все элементы в одну сторону:

$$\sqrt{x} = 2x — 2 — x$$

Шаг 2. Упрощаем правую часть:

$$\sqrt{x} = x — 2$$

Шаг 3. Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$x = (x — 2)^2$$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

$$x = x^2 — 4x + 4$$

Шаг 5. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Шаг 6. Находим дискриминант

$D$

:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 7. Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Шаг 8. Проводим анализ области допустимых значений. Поскольку

$\sqrt{x}$

существует при

$x \geq 0$

, то:

$$x \geq 0$$

Шаг 9. Уравнение

$\sqrt{x} = x — 2$

имеет смысл при

$x — 2 \geq 0$

, то есть:

$$x \geq 2$$

Шаг 10. Сравниваем найденные значения с областью допустимых значений:

• 
  $x_1 = 1$ 

  не удовлетворяет условию $x \geq 2$ 

  .

• 
  $x_2 = 4$ 

  удовлетворяет условию $x \geq 2$ 

  .

Ответ:

$x = 4$

.

3)

$\sqrt{x — 1} = x — 3$

Шаг 1. Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$x — 1 = (x — 3)^2$$

Шаг 2. Раскрываем скобки:

$$x — 1 = x^2 — 6x + 9$$

Шаг 3. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 7x + 10 = 0$$

Шаг 4. Находим дискриминант

$D$

:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$$

Шаг 5. Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5$$

Шаг 6. Проводим анализ области допустимых значений. Поскольку

$\sqrt{x — 1}$

существует при

$x — 1 \geq 0$

, то:

$$x \geq 1$$

Шаг 7. Уравнение

$\sqrt{x — 1} = x — 3$

имеет смысл при

$x — 3 \geq 0$

, то есть:

$$x \geq 3$$

Шаг 8. Сравниваем найденные значения с областью допустимых значений:

• 
  $x_1 = 2$ 

  не удовлетворяет условию $x \geq 3$ 

  .

• 
  $x_2 = 5$ 

  удовлетворяет условию $x \geq 3$ 

  .

Ответ:

$x = 5$

.

4)

$\sqrt{6 + x — x^2} = 1 — x$

Шаг 1. Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$6 + x — x^2 = (1 — x)^2$$

Шаг 2. Раскрываем скобки:

$$6 + x — x^2 = 1 — 2x + x^2$$

Шаг 3. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$$2x^2 — 3x — 5 = 0$$

Шаг 4. Находим дискриминант

$D$

:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

Шаг 5. Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

$$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$

Шаг 6. Проводим анализ области допустимых значений. Поскольку

$6 + x — x^2$

должно быть неотрицательным, то:

$$6 + x — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 6 \leq 0$$

Шаг 7. Находим корни для неравенства

$x^2 — x — 6 \leq 0$

:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Шаг 8. Находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2} = \frac{1 — 5}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Шаг 9. Решаем неравенство:

$$-2 \leq x \leq 3$$

Шаг 10. Уравнение

$1 — x \geq 0$

требует

$x \leq 1$

.

Шаг 11. Сравниваем найденные значения:

• 
  $x_1 = -1$ 

  удовлетворяет $-2 \leq x \leq 3$ 

  и $x \leq 1$ 

  .

• 
  $x_2 = 2.5$ 

  не удовлетворяет $x \leq 1$ 

  .

Ответ:

$x = -1$

.

Ответы:

1. 
   $x = 16$ 
2. 
   $x = 4$ 
3. 
   $x = 5$ 
4. 
   $x = -1$