ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1545 Алимов — Подробные Ответы

1. f(x) = (2x — 1)3;
2. f (x) = (1 — 3x)5.

1) $f(x) = (2x — 1)^3$;

Пусть $u = 2x — 1$, тогда $f(u) = u^3$;

$f'(x) = (2x — 1)’ \cdot (u^3)’ = 2 \cdot 3u^2 = 6(2x — 1)^2$;

Производная равна нулю при:

$$(2x — 1)^2 = 0;$$ $$2x — 1 = 0;$$ $$2x = 1, \text{ отсюда } x = \frac{1}{2};$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $f(x) = (1 — 3x)^5$;

Пусть $u = 1 — 3x$, тогда $f(u) = u^5$;

$f'(x) = (1 — 3x)’ \cdot (u^5)’ = -3 \cdot 5u^4 = -15(1 — 3x)^4$;

Производная равна нулю при:

$$(1 — 3x)^4 = 0;$$ $$1 — 3x = 0;$$ $$3x = 1, \text{ отсюда } x = \frac{1}{3};$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

1. Задача: $f(x) = (2x — 1)^3$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = (2x — 1)^3$ и определить, при каких значениях $x$ эта производная равна нулю.

1.2. Метод решения — правило цепочки:

Для дифференцирования функции, которая представляет собой сложную функцию, используем правило цепочки. Пусть:

$$u = 2x — 1.$$

Тогда функция $f(x)$ может быть переписана как:

$$f(x) = u^3.$$

1.3. Нахождение производной:

Сначала находим производную от $f(u) = u^3$. Для этого применим стандартное правило дифференцирования для степенной функции:

$$f'(u) = 3u^2.$$

Теперь, по правилу цепочки, производная функции $f(x)$ будет равна:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(u^3) = \frac{d}{du}(u^3) \cdot \frac{du}{dx}.$$

Мы уже знаем, что $\frac{d}{du}(u^3) = 3u^2$, а $\frac{du}{dx} = 2$, так как $u = 2x — 1$, и производная от $2x — 1$ равна 2.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 3u^2 \cdot 2 = 6u^2.$$

Подставляем выражение для $u$:

$$f'(x) = 6(2x — 1)^2.$$

1.4. Решение уравнения $f'(x) = 0$:

Теперь нам нужно найти $x$, при которых производная $f'(x) = 0$. То есть решим уравнение:

$$6(2x — 1)^2 = 0.$$

Так как множитель 6 не равен нулю, можем отбросить его и решить:

$$(2x — 1)^2 = 0.$$

Теперь решим это уравнение:

$$2x — 1 = 0.$$

Отсюда:

$$2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}.$$

1.5. Ответ:

Таким образом, значение $x$, при котором производная функции равна нулю, равно:

$$\boxed{x = \frac{1}{2}}.$$

2. Задача: $f(x) = (1 — 3x)^5$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = (1 — 3x)^5$ и определить, при каких значениях $x$ эта производная равна нулю.

2.2. Метод решения — правило цепочки:

Для дифференцирования функции, которая является сложной, применим правило цепочки. Пусть:

$$u = 1 — 3x.$$

Тогда функция $f(x)$ представляется как:

$$f(x) = u^5.$$

2.3. Нахождение производной:

Сначала находим производную от $f(u) = u^5$. Для этого применим стандартное правило дифференцирования для степенной функции:

$$f'(u) = 5u^4.$$

Теперь, по правилу цепочки, производная функции $f(x)$ будет равна:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(u^5) = \frac{d}{du}(u^5) \cdot \frac{du}{dx}.$$

Мы знаем, что $\frac{d}{du}(u^5) = 5u^4$, а $\frac{du}{dx} = -3$, так как $u = 1 — 3x$, и производная от $1 — 3x$ равна $-3$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 5u^4 \cdot (-3) = -15u^4.$$

Подставляем выражение для $u$:

$$f'(x) = -15(1 — 3x)^4.$$

2.4. Решение уравнения $f'(x) = 0$:

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$, то есть:

$$-15(1 — 3x)^4 = 0.$$

Так как множитель $-15$ не равен нулю, мы можем отбросить его и решить:

$$(1 — 3x)^4 = 0.$$

Теперь решим это уравнение:

$$1 — 3x = 0.$$

Отсюда:

$$3x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}.$$

2.5. Ответ:

Таким образом, значение $x$, при котором производная функции равна нулю, равно:

$$\boxed{x = \frac{1}{3}}.$$

Итоговое решение:

1. Ответ для первой задачи: $x = \frac{1}{2}$.
2. Ответ для второй задачи: $x = \frac{1}{3}$.