ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1544 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно 0 (1544—1545).

1. f (х) = sin 2х — х;
2. f (х) = cos 2х + 2х.

1) $f(x) = \sin 2x — x$;

Производная функции:

$$f'(x) = (\sin 2x)’ — (x)’ = 2 \cos 2x — 1;$$

Производная равна нулю при:

$$2 \cos 2x — 1 = 0;$$ $$2 \cos 2x = 1;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

2) $f(x) = \cos 2x + 2x$;

Производная функции:

$$f'(x) = (\cos 2x)’ + (2x)’ = -2 \sin 2x + 2;$$

Производная равна нулю при:

$$-2 \sin 2x + 2 = 0;$$ $$2 \sin 2x = 2;$$ $$\sin 2x = 1;$$ $$2x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

1. Задача: $f(x) = \sin 2x — x$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \sin 2x — x$ и решить уравнение $f'(x) = 0$, то есть найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю.

1.2. Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \sin 2x — x$, используем правило дифференцирования.

• Производная от $\sin 2x$ по правилу цепочки: $(\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$.
• Производная от $-x$ равна $-1$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 2 \cos 2x — 1.$$

1.3. Решение уравнения $f'(x) = 0$:

Теперь нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$, то есть:

$$2 \cos 2x — 1 = 0.$$

Преобразуем это уравнение:

$$2 \cos 2x = 1,$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2}.$$

Мы знаем, что $\cos \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, получаем:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Теперь поделим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

1.4. Ответ:

Таким образом, значения $x$, при которых производная функции равна нулю, имеют вид:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{6} + \pi n}.$$

2. Задача: $f(x) = \cos 2x + 2x$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \cos 2x + 2x$ и решить уравнение $f'(x) = 0$, то есть найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю.

2.2. Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \cos 2x + 2x$, используем стандартные правила дифференцирования.

• Производная от $\cos 2x$ по правилу цепочки: $(\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$.
• Производная от $2x$ равна $2$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = -2 \sin 2x + 2.$$

2.3. Решение уравнения $f'(x) = 0$:

Теперь нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$, то есть:

$$-2 \sin 2x + 2 = 0.$$

Преобразуем это уравнение:

$$-2 \sin 2x = -2,$$ $$\sin 2x = 1.$$

Мы знаем, что $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, получаем:

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь поделим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2.4. Ответ:

Таким образом, значения $x$, при которых производная функции равна нулю, имеют вид:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \pi n}.$$

Итоговое решение:

1. Ответ для первой задачи: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.
2. Ответ для второй задачи: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.