ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1542 Алимов — Подробные Ответы

1. y=cosx, x=пи/4, y=0;
2. y=3x,x=-1,x=1,y=0.

1) $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $y = 0$

Точки пересечения функций:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{2} \text{ — ближайшие точки};$$

Площадь первой криволинейной трапеции:

$$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x) = (\sin x) \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{4} = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{2}}{2};$$

Площадь второй криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x) = (\sin x) \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} — \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2};$$

Ответ:

$$\frac{2 — \sqrt{2}}{2}; \quad \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$$

2) $y = 3^x$, $x = -1$, $x = 1$, $y = 0$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{1} 3^x = \left( \frac{3^x}{\ln 3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} — \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3 — \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9 — 1}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3 \ln 3};$$

Ответ:

$$\frac{8}{3 \ln 3}.$$

1. Задача: $y = \cos x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $y = 0$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь двух криволинейных трапеций, ограниченных графиком функции $y = \cos x$ и осью $y = 0$, с границами $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

1.2. Точки пересечения функций:

Для нахождения точек пересечения функции $y = \cos x$ с осью $y = 0$, приравняем:

$$\cos x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Наиближайшие точки пересечения — $x = \pm \frac{\pi}{2}$.

1.3. Площадь первой криволинейной трапеции:

Нам нужно вычислить площадь, ограниченную графиком функции $y = \cos x$ на интервале от $x = \frac{\pi}{4}$ до $x = \frac{\pi}{2}$.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется через интеграл от функции $y = \cos x$ на этом интервале:

$$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx.$$

Интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$, поэтому:

$$S = \sin x \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{4}.$$

Значения синусов:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставим:

$$S = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{2}}{2}.$$

Ответ для первой трапеции:

$$\boxed{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}}.$$

1.4. Площадь второй криволинейной трапеции:

Теперь вычислим площадь второй криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \cos x$ на интервале от $x = -\frac{\pi}{2}$ до $x = \frac{\pi}{4}$.

Площадь этой трапеции также вычисляется через интеграл:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx.$$

Как и раньше, интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$, поэтому:

$$S = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} — \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right).$$

Значения синусов:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1.$$

Подставим:

$$S = \frac{\sqrt{2}}{2} — (-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$$

Ответ для второй трапеции:

$$\boxed{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}.$$

2. Задача: $y = 3^x$, $x = -1$, $x = 1$, $y = 0$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = 3^x$ и осью $y = 0$ на интервале от $x = -1$ до $x = 1$.

2.2. Площадь криволинейной трапеции:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется через интеграл от функции $y = 3^x$ на интервале от $x = -1$ до $x = 1$:

$$S = \int_{-1}^{1} 3^x \, dx.$$

Интеграл от $3^x$ можно вычислить по формуле для интеграла экспоненциальной функции:

$$\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3}.$$

Таким образом, площадь $S$ равна:

$$S = \left( \frac{3^x}{\ln 3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} — \frac{3^{-1}}{\ln 3}.$$

Подставим значения:

$$S = \frac{3}{\ln 3} — \frac{1}{3 \ln 3} = \frac{3 — \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9 — 1}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3 \ln 3}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{8}{3 \ln 3}}.$$

Итоговое решение:

1. Ответ для первой задачи: $\frac{2 — \sqrt{2}}{2}$ и $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$.
2. Ответ для второй задачи: $\frac{8}{3 \ln 3}$.