ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1540 Алимов — Подробные Ответы

1. y=корень x, y=2, x=9.
2. y=x2+3, y=x+5.

1) $y = \sqrt{x}$, $y = 2$, $x = 9$;

Точки пересечения функций:

$$\sqrt{x} = 2, \text{ отсюда } x = 4;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} — 2) = \int_{4}^{9} \left( x^{\frac{1}{2}} — 2 \right) = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} — 2 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{4}^{9} = \left( \frac{2\sqrt{x^3}}{3} — 2x \right) \bigg|_{4}^{9} =$$ $$= \frac{2\sqrt{9^3}}{3} — 2 \cdot 9 — \frac{2\sqrt{4^3}}{3} + 2 \cdot 4 = \frac{2\sqrt{729}}{3} — 18 — \frac{2\sqrt{64}}{3} + 8 =$$ $$= \frac{2 \cdot 27}{3} — \frac{2 \cdot 8}{3} — 10 = \frac{54 — 16 — 30}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $2 \frac{2}{3}$.

2) $y = x^2 + 3$, $y = x + 5$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 + 3 = x + 5;$$ $$x^2 — x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 3 — x — 5) = \int_{-1}^{2} (x^2 — x — 2) = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} — 2x \right) \bigg|_{-1}^{2} =$$ $$= \frac{2^3}{3} — \frac{2^2}{2} — 2 \cdot 2 — \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = \frac{8}{3} — \frac{4}{2} — 4 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 =$$ $$= \frac{9}{3} — 2 — 6 + 0.5 = 3 — 7.5 = -4.5;$$

Ответ: $4.5$.

1. Задача: $y = \sqrt{x}$, $y = 2$, $x = 9$

1.1. Формулировка задачи:

Необходимо найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = 2$ на интервале от $x = 4$ до $x = 9$, так как точка пересечения этих функций находится при $x = 4$.

1.2. Точка пересечения функций:

Для нахождения точки пересечения функций приравняем их:

$$\sqrt{x} = 2.$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x = 4.$$

Таким образом, функции пересекаются при $x = 4$.

1.3. Подстановка в формулу для площади:

Площадь криволинейной трапеции определяется разностью значений функций на интервале. То есть, нам нужно вычислить интеграл от разности функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$ на интервале от $x = 4$ до $x = 9$:

$$S = \int_{4}^{9} \left( \sqrt{x} — 2 \right) \, dx.$$

1.4. Распишем интеграл:

Рассмотрим два слагаемых:

$$S = \int_{4}^{9} \sqrt{x} \, dx — \int_{4}^{9} 2 \, dx.$$

Вычислим оба интеграла.

• Для $\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$, используя стандартную формулу для интеграла степени, получаем:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

• Для $\int 2 \, dx$, это просто:

$$\int 2 \, dx = 2x.$$

Таким образом, интеграл для площади становится:

$$S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} — 2x \right]_{4}^{9}.$$

1.5. Подстановка пределов интегрирования:

Теперь подставим пределы интегрирования $x = 9$ и $x = 4$ в найденную формулу.

Для $x = 9$:

$$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} — 2 \cdot 9 = \frac{2}{3} \cdot 27 — 18 = 18 — 18 = 0.$$

Для $x = 4$:

$$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} — 2 \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 8 — 8 = \frac{16}{3} — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}.$$

1.6. Итоговое значение площади:

Теперь вычислим разность:

$$S = 0 — \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3}.$$

1.7. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна:

$$\boxed{2 \frac{2}{3}}.$$

2. Задача: $y = x^2 + 3$, $y = x + 5$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 3$ и $y = x + 5$ на интервале от $x = -1$ до $x = 2$.

2.2. Точки пересечения функций:

Для нахождения точек пересечения функций приравняем их:

$$x^2 + 3 = x + 5.$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$x^2 — x — 2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Точки пересечения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

2.3. Подстановка в формулу для площади:

Площадь криволинейной трапеции на интервале от $x = -1$ до $x = 2$ будет вычисляться как разность функций $y = x^2 + 3$ и $y = x + 5$:

$$S = \int_{-1}^{2} \left( (x^2 + 3) — (x + 5) \right) \, dx = \int_{-1}^{2} \left( x^2 — x — 2 \right) \, dx.$$

2.4. Вычисление интеграла:

Теперь вычислим интеграл:

$$S = \int_{-1}^{2} \left( x^2 — x — 2 \right) \, dx.$$

Для этого разберем интегралы по частям:

• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$,
• $\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2}$,
• $\int -2 \, dx = -2x$.

Таким образом, интеграл для площади:

$$S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} — 2x \right) \bigg|_{-1}^{2}.$$

2.5. Подстановка пределов интегрирования:

Теперь подставим пределы интегрирования $x = 2$ и $x = -1$.

Для $x = 2$:

$$\frac{2^3}{3} — \frac{2^2}{2} — 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} — \frac{4}{2} — 4 = \frac{8}{3} — 2 — 4 = \frac{8}{3} — 6 = \frac{-10}{3}.$$

Для $x = -1$:

$$\frac{(-1)^3}{3} — \frac{(-1)^2}{2} — 2 \cdot (-1) = \frac{-1}{3} — \frac{1}{2} + 2 = \frac{-1}{3} — \frac{1}{2} + 2.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{-1}{3} — \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2}{6} — \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}.$$

2.6. Итоговое значение площади:

Теперь вычислим разницу:

$$S = \frac{-10}{3} — \frac{7}{6} = \frac{-20}{6} — \frac{7}{6} = \frac{-27}{6} = -4.5.$$

2.7. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $4.5$ (модуль):

$$\boxed{4.5}.$$

Итоговое решение:

• Ответ для первой задачи: $2 \frac{2}{3}$.
• Ответ для второй задачи: $4.5$.