ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 154 Алимов — Подробные Ответы

1. x+1 = корень (1-x);
2. x=1+ корень (x+11);
3. корень (x+3) = корень (5-x);
4. корень (x2-x-3) =3.

1)

$x + 1 = \sqrt{1 — x}$

$$(x + 1)^2 = 1 — x;$$

$$x^2 + 2x + 1 = 1 — x;$$

$$x^2 + 3x = 0;$$

$$x(x + 3) = 0;$$

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — x \geq 0;$$

$$x \leq 1;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x + 1 \geq 0;$$

$$x \geq -1;$$

Ответ:

$x = 0$

.

2)

$x = 1 + \sqrt{x + 11}$

$$x — 1 = \sqrt{x + 11};$$

$$(x — 1)^2 = x + 11;$$

$$x^2 — 2x + 1 = x + 11;$$

$$x^2 — 3x — 10 = 0;$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 11 \geq 0;$$

$$x \geq -11;$$

Уравнение имеет решения при:

$$x — 1 \geq 0;$$

$$x \geq 1;$$

Ответ:

$x = 5$

.

3)

$\sqrt{x + 3} = \sqrt{5 — x}$

$$x + 3 = 5 — x;$$

$$2x = 2;$$

$$x = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3;$$

$$5 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;$$

Ответ:

$x = 1$

.

4)

$\sqrt{x^2 — x — 3} = 3$

$$x^2 — x — 3 = 9;$$

$$x^2 — x — 12 = 0;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \quad \text{тогда:}$$

$$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;$$

Выполним проверку:

$$(-3)^2 — (-3) — 3 = 9 + 3 — 3 = 9 > 0;$$

$$4^2 — 4 — 3 = 16 — 4 — 3 = 9 > 0;$$

Ответ:

$x_1 = -3; \quad x_2 = 4$

.

1) Решение уравнения

$$x + 1 = \sqrt{1 — x}$$

Шаг 1. Возведение обеих частей в квадрат

Поскольку в уравнении присутствует корень, возведем обе его части в квадрат:

$$(x + 1)^2 = (\sqrt{1 — x})^2$$

$$x^2 + 2x + 1 = 1 — x$$

Шаг 2. Приведение к стандартному виду

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + 2x + 1 — 1 + x = 0$$

$$x^2 + 3x = 0$$

Шаг 3. Разложение на множители

$$x(x + 3) = 0$$

Шаг 4. Нахождение корней

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -3$$

Шаг 5. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для исходного выражения

$\sqrt{1 — x}$

подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$1 — x \geq 0$$

$$x \leq 1$$

Кроме того, исходное выражение

$x + 1$

должно быть неотрицательным:

$$x + 1 \geq 0$$

$$x \geq -1$$

Общий диапазон значений:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Шаг 6. Проверка корней

$$x_1 = 0 \quad \text{принадлежит ОДЗ}$$

$$x_2 = -3 \quad \text{не принадлежит ОДЗ, отбрасываем}$$

Ответ:

$$x = 0$$

2) Решение уравнения

$$x = 1 + \sqrt{x + 11}$$

Шаг 1. Изолирование корня

Вычтем 1 из обеих частей:

$$x — 1 = \sqrt{x + 11}$$

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$(x — 1)^2 = x + 11$$

$$x^2 — 2x + 1 = x + 11$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

$$x^2 — 2x + 1 — x — 11 = 0$$

$$x^2 — 3x — 10 = 0$$

Шаг 4. Нахождение корней через дискриминант

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10)$$

$$D = 9 + 40 = 49$$

$$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$$

$$x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

Шаг 5. ОДЗ

Подкоренное выражение

$x + 11$

должно быть неотрицательным:

$$x + 11 \geq 0$$

$$x \geq -11$$

Также

$x — 1 \geq 0$

, то есть:

$$x \geq 1$$

Шаг 6. Проверка корней

$$x_1 = -2 \quad \text{не удовлетворяет \( x \geq 1 \), отбрасываем}$$

$$x_2 = 5 \quad \text{принадлежит ОДЗ, подходит}$$

Ответ:

$$x = 5$$

3) Решение уравнения

$$\sqrt{x + 3} = \sqrt{5 — x}$$

Шаг 1. Возведение в квадрат

$$(x + 3) = (5 — x)$$

Шаг 2. Решение линейного уравнения

$$x + 3 = 5 — x$$

$$x + x = 5 — 3$$

$$2x = 2$$

$$x = 1$$

Шаг 3. ОДЗ

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$

$$5 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5$$

Общий диапазон:

$$-3 \leq x \leq 5$$

Шаг 4. Проверка корня

$$x = 1 \quad \text{принадлежит ОДЗ, подходит}$$

Ответ:

$$x = 1$$

4) Решение уравнения

$$\sqrt{x^2 — x — 3} = 3$$

Шаг 1. Возведение в квадрат

$$x^2 — x — 3 = 9$$

Шаг 2. Приведение к стандартному виду

$$x^2 — x — 3 — 9 = 0$$

$$x^2 — x — 12 = 0$$

Шаг 3. Нахождение корней через дискриминант

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12)$$

$$D = 1 + 48 = 49$$

$$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$$

$$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$$

Шаг 4. Проверка корней

Подкоренное выражение

$x^2 — x — 3$

должно быть неотрицательным.
Проверяем

$x_1 = -3$

:

$$(-3)^2 — (-3) — 3 = 9 + 3 — 3 = 9 \geq 0$$

Проверяем

$x_2 = 4$

:

$$4^2 — 4 — 3 = 16 — 4 — 3 = 9 \geq 0$$

Оба корня подходят.

Ответ:

$$x_1 = -3, \quad x_2 = 4$$