ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1539 Алимов — Подробные Ответы

1. у = 4х — х2, у = 0, х = 0, х = 3;
2. у = х2 — 2х + 8, у = 6, х = —1, х = 3;
3. у = sin х, у = 0, х = 2пи/3, х = пи;
4. у= cos х, у = 0, х = -пи/6, х =пи/6.

$y = 4x — x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$;

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{3} (4x — x^2 — 5) = \left( 4 \cdot \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} — 5 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{0}^{3} = \left( 2x^2 — \frac{x^3}{3} — 5x \right) \bigg|_{0}^{3} =$$ $$= 2 \cdot 3^2 — \frac{3^3}{3} — 5 \cdot 3 — 2 \cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} + 5 \cdot 0 = 2 \cdot 9 — \frac{27}{3} — 15 =$$ $$= 18 — 9 — 15 = -6;$$

Ответ: 6.

$y = x^2 — 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$;

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{3} (x^2 — 2x + 8 — 6) = \int_{-1}^{3} (x^2 — 2x + 2) = \left( \frac{x^3}{3} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{-1}^{3} =$$ $$= \left( \frac{x^3}{3} — x^2 + 2x \right) \bigg|_{-1}^{3} = \frac{3^3}{3} — 3^2 + 2 \cdot 3 — \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 — 2 \cdot (-1) =$$ $$= \frac{27}{3} — 9 + 6 + \frac{1}{3} + 1 + 2 = \frac{27}{3} + \frac{1}{3} = \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3};$$

Ответ: $9 \frac{1}{3}$.

$y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$;

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} (\sin x) = (-\cos x) \bigg|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = -\cos \pi + \cos \frac{2\pi}{3} =$$ $$= -(-1) + \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = 1 — \cos \frac{\pi}{3} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

$y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$;

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} (\cos x) = (\sin x) \bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{6} — \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} =$$ $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1;$$

Ответ: 1.

1. Задача: $y = 4x — x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции $y = 4x — x^2$ и прямой $y = 5$ на интервале $x = 0$ и $x = 3$.

Это можно выразить через интеграл:

$$S = \int_{0}^{3} \left( f(x) — g(x) \right) \, dx,$$

где $f(x) = 4x — x^2$ и $g(x) = 5$.

1.2. Подстановка в формулу:

Площадь трапеции будет вычисляться как разность функций $f(x) = 4x — x^2$ и $g(x) = 5$, то есть:

$$S = \int_{0}^{3} \left( (4x — x^2) — 5 \right) \, dx = \int_{0}^{3} \left( 4x — x^2 — 5 \right) \, dx.$$

1.3. Вычисление интеграла:

Рассмотрим интеграл:

$$S = \int_{0}^{3} \left( 4x — x^2 — 5 \right) \, dx.$$

Разделим его на три интеграла:

$$S = \int_{0}^{3} 4x \, dx — \int_{0}^{3} x^2 \, dx — \int_{0}^{3} 5 \, dx.$$

Теперь вычислим каждый из интегралов.

• $\int 4x \, dx = 2x^2$,
• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$,
• $\int 5 \, dx = 5x$.

1.4. Подстановка пределов интегрирования:

Теперь подставим пределы для каждого интеграла.

1. $\int_{0}^{3} 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{3} = 2 \cdot 3^2 — 2 \cdot 0^2 = 2 \cdot 9 = 18$,
2. $\int_{0}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$,
3. $\int_{0}^{3} 5 \, dx = \left[ 5x \right]_{0}^{3} = 5 \cdot 3 — 5 \cdot 0 = 15$.

1.5. Итоговое значение площади:

Теперь сложим результаты:

$$S = 18 — 9 — 15 = -6.$$

1.6. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $6$ (модуль отрицательной площади):

$$\boxed{6}.$$

2. Задача: $y = x^2 — 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции $y = x^2 — 2x + 8$ и прямой $y = 6$ на интервале $x = -1$ и $x = 3$.

Площадь можно вычислить как разность этих функций:

$$S = \int_{-1}^{3} \left( (x^2 — 2x + 8) — 6 \right) \, dx = \int_{-1}^{3} \left( x^2 — 2x + 2 \right) \, dx.$$

2.2. Подстановка в формулу:

Теперь разберем интеграл:

$$S = \int_{-1}^{3} \left( x^2 — 2x + 2 \right) \, dx.$$

2.3. Вычисление интегралов:

Вычислим интегралы для каждого из слагаемых:

• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$,
• $\int -2x \, dx = -x^2$,
• $\int 2 \, dx = 2x$.

2.4. Подстановка пределов интегрирования:

Подставим пределы для каждого из интегралов.

1. $\int_{-1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = \frac{3^3}{3} — \frac{(-1)^3}{3} = \frac{27}{3} — \frac{-1}{3} = \frac{28}{3}$,
2. $\int_{-1}^{3} -2x \, dx = \left[ -x^2 \right]_{-1}^{3} = -3^2 + (-(-1)^2) = -9 + 1 = -8$,
3. $\int_{-1}^{3} 2 \, dx = \left[ 2x \right]_{-1}^{3} = 2 \cdot 3 — 2 \cdot (-1) = 6 + 2 = 8$.

2.5. Итоговое значение площади:

Теперь сложим результаты:

$$S = \frac{28}{3} — 8 + 8 = \frac{28}{3}.$$

Переведем в смешанное число:

$$\frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3}.$$

2.6. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $9 \frac{1}{3}$:

$$\boxed{9 \frac{1}{3}}.$$

3. Задача: $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$

3.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции между графиком функции $y = \sin x$ и осью $y = 0$ на интервале $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \pi$.

Площадь можно найти с помощью интеграла:

$$S = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \, dx.$$

3.2. Вычисление интеграла:

Интеграл от $\sin x$ равен:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x.$$

Подставляем пределы:

$$S = \left( -\cos x \right) \bigg|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi}.$$

3.3. Подстановка значений:

Подставляем пределы:

$$S = -\cos \pi + \cos \frac{2\pi}{3}.$$

Значения косинусов:

• $\cos \pi = -1$,
• $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ (так как угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен).

Подставляем:

$$S = -(-1) + \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

3.4. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $\frac{1}{2}$:

$$\boxed{\frac{1}{2}}.$$

4. Задача: $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$

4.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции между графиком функции $y = \cos x$ и осью $y = 0$ на интервале $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

Площадь можно вычислить с помощью интеграла:

$$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \, dx.$$

4.2. Вычисление интеграла:

Интеграл от $\cos x$ равен:

$$\int \cos x \, dx = \sin x.$$

Подставляем пределы:

$$S = \left( \sin x \right) \bigg|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}.$$

4.3. Подстановка значений:

Подставляем пределы:

$$S = \sin \frac{\pi}{6} — \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right).$$

Значения синусов:

• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,
• $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$ (так как синус нечетная функция).

Подставляем:

$$S = \frac{1}{2} — \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$$

4.4. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $1$:

$$\boxed{1}.$$