ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1538 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1538—1542).

1. у = корень (х-1), у = 3 — х, у = 0;
2. у =-1/x, у = х2, у=x2/8.

Задача 1:

$y = \sqrt{x — 1}$, $y = 3 — x$, $y = 0$;

Точка пересечения функций:

$$\sqrt{x — 1} = 3 — x;$$ $$x — 1 = 9 — 6x + x^2;$$ $$x^2 — 7x + 10 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;$$

Уравнение имеет решения при:

$$3 — x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 3;$$ $$x — 1 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 1;$$ $$x = 2;$$

Первая функция положительна при:

$$\sqrt{x — 1} > 0;$$ $$x — 1 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 1;$$

Вторая функция положительна при:

$$3 — x > 0, \text{ отсюда } x < 3;$$

Графики функций:

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{2} (x — 1)^{\frac{1}{2}} + \int_{2}^{3} (3 — x) = \left( (x — 1)^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} \right) \bigg|_{1}^{2} + \left( 3 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{2}^{3} =$$ $$= \left( \frac{2 \sqrt{(x — 1)^3}}{3} \right) \bigg|_{1}^{2} + \left( 3x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{2}^{3} =$$ $$= \frac{2 \sqrt{(2 — 1)^3}}{3} — \frac{2 \sqrt{(1 — 1)^3}}{3} + 3 \cdot 3 — \frac{3^2}{2} — 3 \cdot 2 + \frac{2^2}{2} =$$ $$= \frac{2}{3} — 0 + 9 — \frac{9}{2} — 6 + \frac{4}{2} = \frac{2}{3} — \frac{15}{2} + 3 = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6};$$

Ответ: $1 \frac{1}{6}$.

Задача 2:

$y = -\frac{1}{x}$, $y = x^2$, $y = \frac{x^2}{8}$;

Пересечение первой и второй функции:

$$-\frac{1}{x} = x^2 \quad | \cdot x;$$ $$-1 = x^3, \text{ отсюда } x = -1;$$

Пересечение первой и третьей функции:

$$-\frac{1}{x} = \frac{x^2}{8};$$ $$-8 = x^3, \text{ отсюда } x = -2;$$

Пересечение второй и третьей функции:

$$x^2 = \frac{x^2}{8} \quad | \cdot 8;$$ $$8x^2 = x^2;$$ $$7x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Графики функций:

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{1}{x} — \frac{x^2}{8} \right) + \int_{-1}^{0} \left( x^2 — \frac{x^2}{8} \right) = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{1}{x} — \frac{x^2}{8} \right) + \int_{-1}^{0} \left( \frac{7}{8} x^2 \right) =$$ $$= \left( -\ln x — \frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-2}^{-1} + \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{0} =$$ $$= \left( -\ln(-1) — \frac{(-1)^3}{24} \right) + \ln(-2) + \frac{(-2)^3}{24} + \frac{7 \cdot (-1)^3}{24} =$$ $$= \ln \frac{-2}{-1} + \frac{1}{24} — \frac{8}{24} + \frac{0}{24} + \frac{7}{24} = \ln 2;$$

Ответ: $\ln 2$.

Задача 1:

$y = \sqrt{x — 1}$, $y = 3 — x$, $y = 0$;

1. Точка пересечения функций:

Для того чтобы найти точку пересечения функций, нужно решить систему уравнений. Рассмотрим пересечение функции $y = \sqrt{x — 1}$ и $y = 3 — x$:

$$\sqrt{x — 1} = 3 — x.$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат:

$$x — 1 = (3 — x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x — 1 = 9 — 6x + x^2.$$

Теперь соберем все слагаемые на одну сторону:

$$x — 1 — 9 + 6x — x^2 = 0,$$ $$x^2 — 7x + 10 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5.$$

Таким образом, возможные решения — $x = 2$ и $x = 5$.

2. Ограничения на значения $x$:

Теперь определим, при каких значениях $x$ эти решения действительны, учитывая области определения функций.

• Для функции $y = \sqrt{x — 1}$ необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

  $$x — 1 \geq 0, \quad \text{отсюда} \quad x \geq 1.$$

• Для функции $y = 3 — x$ нужно, чтобы значение $y$ было неотрицательным:

  $$3 — x \geq 0, \quad \text{отсюда} \quad x \leq 3.$$

Таким образом, точка пересечения функций возможна при $1 \leq x \leq 3$. Проверим найденные корни:

• $x = 2$ удовлетворяет всем ограничениям.
• $x = 5$ не удовлетворяет, так как $3 — 5 < 0$.

Следовательно, точка пересечения $x = 2$.

3. Положительность функций:

Теперь проверим, при каких значениях $x$ обе функции положительны:

• Для функции $y = \sqrt{x — 1}$ она положительна, когда:

  $$x — 1 > 0, \quad \text{отсюда} \quad x \neq 1.$$

• Для функции $y = 3 — x$ она положительна, когда:

  $$3 — x > 0, \quad \text{отсюда} \quad x < 3.$$

Таким образом, обе функции положительны на интервале $1 < x < 3$, но при $x = 1$ функция $y = \sqrt{x — 1}$ равна 0, что исключает $x = 1$ из области положительности.

4. Площадь криволинейной трапеции:

Площадь криволинейной трапеции между графиками функций $y = \sqrt{x — 1}$ и $y = 3 — x$ можно найти с помощью интегралов. Площадь будет состоять из двух частей: от 1 до 2 и от 2 до 3.

Площадь $S$ равна сумме двух интегралов:

$$S = \int_{1}^{2} \sqrt{x — 1} \, dx + \int_{2}^{3} (3 — x) \, dx.$$

Первый интеграл:

$$\int \sqrt{x — 1} \, dx = \int (x — 1)^{\frac{1}{2}} \, dx.$$

Используем подстановку $u = x — 1$, тогда $du = dx$, и пределы интегрирования изменяются с $x = 1$ на $x = 2$, т.е. от 0 до 1:

$$\int_{1}^{2} (x — 1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \bigg|_0^1 = \frac{2}{3}.$$

Второй интеграл:

$$\int_{2}^{3} (3 — x) \, dx = \int_{2}^{3} (3 — x) \, dx = \left( 3x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_2^3.$$

Подставляем пределы:

$$\left( 3 \cdot 3 — \frac{3^2}{2} \right) — \left( 3 \cdot 2 — \frac{2^2}{2} \right) = (9 — \frac{9}{2}) — (6 — 2) = \frac{18}{2} — \frac{9}{2} — 4 = \frac{9}{2} — 4 = \frac{1}{2}.$$

Теперь сложим площади:

$$S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}.$$

Ответ: $1 \frac{1}{6}$.

Задача 2:

$y = -\frac{1}{x}$, $y = x^2$, $y = \frac{x^2}{8}$;

1. Пересечение первой и второй функции:

Для нахождения точки пересечения функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = x^2$, приравняем их:

$$-\frac{1}{x} = x^2.$$

Умножим обе стороны на $x$ (при условии $x \neq 0$):

$$-1 = x^3, \quad \text{отсюда} \quad x = -1.$$

2. Пересечение первой и третьей функции:

Теперь найдем точку пересечения функций $y = -\frac{1}{x}$ и $y = \frac{x^2}{8}$:

$$-\frac{1}{x} = \frac{x^2}{8}.$$

Умножим обе стороны на $8x$:

$$-8 = x^3, \quad \text{отсюда} \quad x = -2.$$

3. Пересечение второй и третьей функции:

Для нахождения пересечения функций $y = x^2$ и $y = \frac{x^2}{8}$, приравняем их:

$$x^2 = \frac{x^2}{8}.$$

Умножим обе стороны на 8:

$$8x^2 = x^2.$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(8 — 1) = 0, \quad \text{отсюда} \quad x = 0.$$

4. Площадь криволинейной трапеции:

Площадь криволинейной трапеции между графиками функций можно найти, вычислив два интеграла.

Площадь $S$ равна сумме двух интегралов:

$$S = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{1}{x} — \frac{x^2}{8} \right) \, dx + \int_{-1}^{0} \left( x^2 — \frac{x^2}{8} \right) \, dx.$$

Первый интеграл:

$$\int \left( -\frac{1}{x} — \frac{x^2}{8} \right) \, dx = -\ln|x| — \frac{x^3}{24}.$$

Подставляем пределы:

$$\left( -\ln(-1) — \frac{(-1)^3}{24} \right) + \left( \ln(-2) + \frac{(-2)^3}{24} \right).$$

Получаем:

$$\ln \frac{-2}{-1} + \frac{1}{24} — \frac{8}{24} + \frac{0}{24} + \frac{7}{24} = \ln 2.$$

Ответ: $\ln 2$.