ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1530 Алимов — Подробные Ответы

Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Пусть $a$ и $h$ — сторона основания и высота призмы;

Радиус сферы равен $R$ и в нее вписана правильная треугольная призма, значит ось призмы пересекает центр сферы и делится ею на две равные части:

$$\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} \right)^2 = R^2;$$ $$\frac{a^2}{3} + \frac{h^2}{4} = R^2;$$ $$4a^2 + 3h^2 = 12R^2;$$ $$4a^2 = 12R^2 — 3h^2;$$ $$a^2 = 3R^2 — \frac{3h^2}{4} = \frac{3}{4} \cdot (4R^2 — h^2);$$

Объем правильной призмы:

$$V(h) = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{\sqrt{3} h}{4} \cdot \frac{3}{4} (4R^2 — h^2) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 h — h^3);$$

Производная функции:

$$V'(h) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 (h)’ — (h^3)’) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 — 3h^2);$$

Промежуток возрастания:

$$4R^2 — 3h^2 > 0;$$ $$3h^2 < 4R^2;$$ $$h^2 < \frac{4R^2}{3};$$ $$-\frac{2R}{\sqrt{3}} < h < \frac{2R}{\sqrt{3}};$$

Искомые значения:

$$h = \frac{2R}{\sqrt{3}} \quad \text{точка максимума};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2R}{\sqrt{3}}}$$

В этой задаче нам нужно найти высоту правильной треугольной призмы, вписанной в сферу, при которой объем этой призмы максимален. Заданы:

• Сторона основания призмы $a$,
• Высота призмы $h$,
• Радиус сферы $R$, в которую вписана призма.

Шаг 1: Геометрия задачи

Сфера вписывает правильную треугольную призму таким образом, что ось призмы проходит через центр сферы и делится ею на две равные части. Мы имеем правильную треугольную призму, и ось призмы пересекает центр сферы, что позволяет нам использовать теорему Пифагора для нахождения зависимости между сторонами и высотой призмы.

Взаимосвязь между размерами призмы и радиусом сферы

Площадь сечения правильной треугольной призмы через ось можно рассматривать как прямоугольный треугольник, где:

• Один катет — это расстояние от центра основания до верхней вершины треугольника, то есть $\frac{a}{\sqrt{3}}$ (где $a$ — длина стороны основания треугольника),
• Второй катет — это половина высоты призмы, то есть $\frac{h}{2}$,
• Гипотенуза — это радиус сферы $R$.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:

$$\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} \right)^2 = R^2$$

Преобразуем это уравнение:

$$\frac{a^2}{3} + \frac{h^2}{4} = R^2$$

Умножим обе стороны на 12, чтобы избавиться от дробей:

$$4a^2 + 3h^2 = 12R^2$$

Теперь выразим $a^2$ через $h^2$ и $R^2$:

$$4a^2 = 12R^2 — 3h^2$$ $$a^2 = 3R^2 — \frac{3h^2}{4}$$

Это выражение связывает сторону основания $a$ с высотой $h$ и радиусом сферы $R$.

Шаг 2: Объем правильной треугольной призмы

Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:

$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания призмы (правильного треугольника).

Площадь правильного треугольника с длиной стороны $a$ вычисляется как:

$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

Таким образом, объем призмы:

$$V(h) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h$$

Теперь подставим выражение для $a^2$ из предыдущего шага:

$$V(h) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( 3R^2 — \frac{3h^2}{4} \right) \cdot h$$

Упростим это:

$$V(h) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( 3R^2 h — \frac{3h^3}{4} \right)$$ $$V(h) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 h — h^3)$$

Шаг 3: Нахождение производной объема

Для нахождения максимума объема призмы необходимо взять производную объема по высоте $h$. Рассчитаем производную $V'(h)$ от выражения для объема:

$$V(h) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 h — h^3)$$

Производная от первого слагаемого:

$$\frac{d}{dh} \left( 4R^2 h \right) = 4R^2$$

Производная от второго слагаемого:

$$\frac{d}{dh} \left( -h^3 \right) = -3h^2$$

Таким образом, производная объема $V'(h)$ будет:

$$V'(h) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 — 3h^2)$$

Шаг 4: Нахождение критических точек

Чтобы найти значение $h$, при котором объем максимален, приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$\frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (4R^2 — 3h^2) = 0$$

Так как $\frac{3 \sqrt{3}}{16} \neq 0$, то остаётся:

$$4R^2 — 3h^2 = 0$$

Решим это уравнение относительно $h^2$:

$$3h^2 = 4R^2$$ $$h^2 = \frac{4R^2}{3}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, высота призмы, при которой ее объем максимален, равна $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Шаг 5: Проверка на максимум

Чтобы убедиться, что найденное значение высоты действительно соответствует максимуму, вычислим вторую производную от объема:

$$V»(h) = \frac{3 \sqrt{3}}{16} \cdot (-6h)$$

При $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$, вторая производная $V»(h)$ будет отрицательной, что подтверждает, что это точка максимума.

Ответ

Таким образом, точка максимума объема находится при высоте призмы $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\boxed{\frac{2R}{\sqrt{3}}}$.