ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1529 Алимов — Подробные Ответы

Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим?

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Банка имеет заданный объем $V$, значит:

$$\pi r^2 \cdot h = V;$$ $$h = \frac{V}{\pi r^2};$$

Площадь поверхности цилиндра:

$$S(r) = (2 \cdot \pi r^2) + (2 \pi r \cdot h) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r};$$

Производная функции:

$$S'(r) = \left( 2 \pi r^2 \right)’ + 2V \cdot \left( \frac{1}{r} \right)’ = 2 \pi \cdot 2r + 2V \cdot \left( -\frac{1}{r^2} \right) = \frac{4 \pi r^3 — 2V}{r^2};$$

Промежуток возрастания:

$$4 \pi r^3 — 2V > 0;$$ $$4 \pi r^3 > 2V;$$ $$r^3 > \frac{V}{2 \pi}, \text{ отсюда } r > \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}};$$

Искомые значения:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} — \text{ точка минимума};$$ $$\frac{h}{r} = \frac{\frac{V}{\pi r^2}}{r} : r = \frac{V}{\pi} \cdot \frac{1}{r^3} = \frac{V}{\pi} \cdot \frac{2 \pi}{V} = 2;$$

Ответ: $h = 2r$.

Шаг 1: Исходные данные

Пусть:

• $r$ — радиус основания цилиндра;
• $h$ — высота цилиндра;
• $V$ — заданный объем цилиндра.

По формуле объема цилиндра имеем:

$$V = \pi r^2 h$$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через радиус $r$ и объем $V$:

$$h = \frac{V}{\pi r^2}$$

Шаг 2: Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:

• площадь двух круговых оснований $2 \cdot \pi r^2$;
• площадь боковой поверхности, которая равна $2 \pi r \cdot h$.

Таким образом, площадь поверхности цилиндра $S(r)$ выражается как:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot h$$

Подставим $h = \frac{V}{\pi r^2}$ из предыдущего шага:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2}$$

Упростим выражение:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r}$$

Это и есть функция площади поверхности $S(r)$, выраженная через радиус $r$ и объем $V$.

Шаг 3: Нахождение производной площади

Чтобы найти радиус, при котором площадь поверхности минимальна, необходимо найти производную функции $S(r)$ по $r$.

Вычислим производную от каждого слагаемого:

• Производная от $2 \pi r^2$:

$$\frac{d}{dr}(2 \pi r^2) = 4 \pi r$$

• Производная от $\frac{2V}{r}$:

$$\frac{d}{dr} \left( \frac{2V}{r} \right) = -\frac{2V}{r^2}$$

Таким образом, производная площади $S'(r)$ будет равна:

$$S'(r) = 4 \pi r — \frac{2V}{r^2}$$

Шаг 4: Нахождение критических точек

Чтобы найти минимальную площадь, приравняем производную $S'(r)$ к нулю:

$$4 \pi r — \frac{2V}{r^2} = 0$$

Переносим второе слагаемое в правую часть:

$$4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$$

Теперь умножим обе стороны уравнения на $r^2$:

$$4 \pi r^3 = 2V$$

Поделим обе стороны на 2:

$$2 \pi r^3 = V$$

Решим относительно $r^3$:

$$r^3 = \frac{V}{2 \pi}$$

Теперь извлекаем кубический корень:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$$

Таким образом, радиус, при котором площадь поверхности цилиндра минимальна, равен $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$.

Шаг 5: Проверка на минимум

Чтобы убедиться, что это точка минимума, нужно проверить знак производной во второй производной $S»(r)$. Найдем её:

• Производная от $4 \pi r$ будет равна $4 \pi$.
• Производная от $-\frac{2V}{r^2}$ будет равна $\frac{4V}{r^3}$.

Таким образом, вторая производная будет:

$$S»(r) = 4 \pi + \frac{4V}{r^3}$$

Поскольку обе части выражения положительны, то $S»(r) > 0$, что означает, что функция имеет минимум при $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$.

Шаг 6: Найдем соотношение между высотой и радиусом

Теперь, используя найденное значение радиуса, найдем высоту цилиндра. Из формулы объема $V = \pi r^2 h$ можем выразить высоту $h$ как:

$$h = \frac{V}{\pi r^2}$$

Подставим $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ в это выражение для $h$:

$$h = \frac{V}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \right)^2}$$

Упростим выражение:

$$h = \frac{V}{\pi \cdot \left( \frac{V}{2 \pi} \right)^{2/3}}$$

Приведем к более простому виду:

$$h = 2r$$

Таким образом, для минимизации площади поверхности цилиндра при заданном объеме, высота цилиндра должна быть в два раза больше его радиуса.

Ответ:

$$h = 2r$$