ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1528 Алимов — Подробные Ответы

Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R. найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Радиус шара равен $R$ и цилиндр вписан в него, значит диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара:

$$(2r)^2 + h^2 = d^2;$$ $$4r^2 + h^2 = (2R)^2;$$ $$4r^2 = 4R^2 — h^2;$$ $$r^2 = R^2 — \frac{h^2}{4};$$

Объем цилиндра:

$$V(h) = \pi r^2 \cdot h = \pi h \cdot \left(R^2 — \frac{h^2}{4}\right) = \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4};$$

Производная функции:

$$V'(h) = \pi R^2 (h)’ — \frac{\pi}{4} (h^3)’ = \pi R^2 — \frac{3\pi}{4} h^2;$$

Промежуток возрастания:

$$\pi R^2 — \frac{3\pi}{4} h^2 > 0;$$ $$4\pi R^2 — 3\pi h^2 > 0;$$ $$3\pi h^2 < 4\pi R^2;$$ $$h^2 < \frac{4R^2}{3};$$ $$-\frac{2R}{\sqrt{3}} < h < \frac{2R}{\sqrt{3}};$$

Искомые значения:

$$h = \frac{2R}{\sqrt{3}} \quad \text{— точка максимума};$$ $$r = \sqrt{R^2 — \frac{h^2}{4}} = \sqrt{R^2 — \frac{4R^2}{3 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{3R^2}{3} — \frac{R^2}{3}} = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R \sqrt{\frac{2}{3}};$$

Ответ: $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$; $r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$.

1. Геометрия задачи

Мы имеем цилиндр, вписанный в шар с радиусом $R$. Диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара. Нам нужно выразить объем цилиндра как функцию от высоты $h$ и затем найти, при какой высоте объем максимален.

Взаимосвязь между радиусом основания цилиндра и высотой

Диагональ осевого сечения цилиндра — это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого одна катет — это высота цилиндра $h$, а другой катет — это два радиуса основания цилиндра, то есть $2r$.

По теореме Пифагора диагональ осевого сечения цилиндра (которая равна диаметру шара, то есть $2R$) можно выразить так:

$$(2r)^2 + h^2 = d^2$$

где $d = 2R$ — диаметр шара.

Подставим $d = 2R$ в это уравнение:

$$(2r)^2 + h^2 = (2R)^2$$ $$4r^2 + h^2 = 4R^2$$

Теперь выразим $r^2$:

$$4r^2 = 4R^2 — h^2$$ $$r^2 = R^2 — \frac{h^2}{4}$$

Таким образом, мы нашли зависимость $r^2$ от высоты $h$ и радиуса шара $R$.

2. Объем цилиндра

Объем цилиндра $V$ можно выразить через его радиус основания $r$ и высоту $h$ следующим образом:

$$V(h) = \pi r^2 \cdot h$$

Подставим выражение для $r^2$ из предыдущего шага:

$$V(h) = \pi h \left( R^2 — \frac{h^2}{4} \right)$$

Раскроем скобки:

$$V(h) = \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4}$$

Таким образом, объем цилиндра выражен через высоту $h$ и радиус шара $R$.

3. Производная объема

Чтобы найти максимальный объем, необходимо найти производную объема по высоте $h$. Рассчитаем производную $V'(h)$ от функции объема $V(h) = \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4}$:

Производная первого члена:

$$\frac{d}{dh} \left( \pi h R^2 \right) = \pi R^2$$

Производная второго члена:

$$\frac{d}{dh} \left( -\frac{\pi h^3}{4} \right) = -\frac{3\pi h^2}{4}$$

Таким образом, производная объема:

$$V'(h) = \pi R^2 — \frac{3\pi h^2}{4}$$

4. Нахождение критических точек

Для нахождения точек максимума объема, приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$\pi R^2 — \frac{3\pi h^2}{4} = 0$$

Упростим это уравнение:

$$R^2 = \frac{3h^2}{4}$$

Умножим обе стороны на 4:

$$4R^2 = 3h^2$$

Теперь решим относительно $h^2$:

$$h^2 = \frac{4R^2}{3}$$

Или:

$$h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, высота цилиндра, при которой его объем максимален, равна $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

5. Найдем радиус основания

Теперь, когда мы знаем высоту $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$, подставим это значение в выражение для $r^2$:

$$r^2 = R^2 — \frac{h^2}{4}$$

Подставим значение $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ и упростим:

$$r^2 = R^2 — \frac{\left( \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)^2}{4}$$ $$r^2 = R^2 — \frac{\frac{4R^2}{3}}{4}$$ $$r^2 = R^2 — \frac{R^2}{3}$$ $$r^2 = \frac{3R^2}{3} — \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$$

Теперь извлечем квадратный корень:

$$r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$$

6. Ответ

Таким образом, радиус основания цилиндра при максимальном объеме равен $r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$, а высота цилиндра равна $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$; $r = R \sqrt{\frac{2}{3}}$.