ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1527 Алимов — Подробные Ответы

Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Периметр сечения цилиндра равен $p$, значит:

$$2 \cdot (2r + h) = p;$$ $$4r + 2h = p;$$ $$2h = p — 4r;$$ $$h = \frac{p}{2} — 2r;$$

Объем цилиндра:

$$V(r) = \pi r^2 \cdot h = \pi r^2 \cdot \left( \frac{p}{2} — 2r \right) = \frac{1}{2} p \pi r^2 — 2 \pi r^3;$$

Производная функции:

$$V'(r) = \frac{1}{2} p \pi (r^2)’ — 2 \pi (r^3)’;$$ $$V'(r) = \frac{1}{2} p \pi \cdot 2r — 2 \pi \cdot 3r^2 = p \pi r — 6 \pi r^2;$$

Промежуток возрастания:

$$p \pi r — 6 \pi r^2 > 0;$$ $$pr — 6r^2 > 0;$$ $$r \cdot (p — 6r) > 0;$$ $$r \cdot (6r — p) < 0;$$ $$0 < r < \frac{p}{6};$$

Искомые значения:

$$r = \frac{p}{6} \text{ — точка максимума};$$ $$V \left( \frac{p}{6} \right) = \pi \left( \frac{p}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{p}{2} — 2 \cdot \frac{p}{6} \right) = \frac{\pi p^2}{36} \cdot \left( \frac{3p}{6} — \frac{2p}{6} \right) = \frac{\pi p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi p^3}{216}}$$

1. Выражение для высоты цилиндра

Периметр сечения цилиндра по его высоте (то есть, периметр прямоугольника, сторонами которого являются высота $h$ и два диаметра основания цилиндра) равен $p$.

Поскольку сечение цилиндра — это прямоугольник, имеющий длину двух диаметров основания и высоту цилиндра, можно записать его периметр следующим образом:

$$2 \cdot (2r + h) = p$$

Здесь $2r$ — это диаметр основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра. Упростим это уравнение:

$$4r + 2h = p$$

Теперь выделим $h$ и выразим его через $r$ и $p$:

$$2h = p — 4r$$ $$h = \frac{p}{2} — 2r$$

Таким образом, высота цилиндра $h$ выражается через радиус основания $r$ и периметр сечения $p$.

2. Формула объема цилиндра

Объем цилиндра можно выразить через его радиус основания и высоту. Формула для объема цилиндра $V$ такова:

$$V(r) = \pi r^2 h$$

Подставляем полученное выражение для $h$:

$$V(r) = \pi r^2 \left( \frac{p}{2} — 2r \right)$$

Теперь раскроем скобки:

$$V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{p}{2} — \pi r^2 \cdot 2r$$ $$V(r) = \frac{1}{2} p \pi r^2 — 2 \pi r^3$$

Это и есть выражение для объема цилиндра через радиус основания $r$ и периметр сечения $p$.

3. Производная объема цилиндра

Чтобы найти максимальный объем, нам нужно найти производную функции объема по радиусу основания $r$. Найдем производную $V'(r)$ от выражения для объема:

$$V(r) = \frac{1}{2} p \pi r^2 — 2 \pi r^3$$

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

$$V'(r) = \frac{1}{2} p \pi \cdot 2r — 2 \pi \cdot 3r^2$$

Упростим это:

$$V'(r) = p \pi r — 6 \pi r^2$$

Это выражение — производная объема цилиндра.

4. Нахождение критических точек

Теперь, чтобы найти радиус $r$, при котором объем цилиндра максимален, нужно приравнять производную к нулю:

$$p \pi r — 6 \pi r^2 = 0$$

Вынесем $\pi r$ за скобки:

$$\pi r (p — 6r) = 0$$

Поскольку $\pi \neq 0$ и $r \neq 0$, остаётся:

$$p — 6r = 0$$

Решим это уравнение относительно $r$:

$$r = \frac{p}{6}$$

Это значение радиуса является точкой экстремума объема цилиндра. Для того чтобы убедиться, что это действительно точка максимума, нужно исследовать знак производной.

5. Промежуток возрастания и убывания

Производная функции объема $V'(r) = p \pi r — 6 \pi r^2$ меняет знак в точке $r = \frac{p}{6}$. Проверим, когда производная положительна (функция возрастает), а когда она отрицательна (функция убывает).

• Для $r < \frac{p}{6}$, подставив значение $r$ в производную, мы видим, что $p \pi r — 6 \pi r^2$ будет положительным (производная положительна, объем возрастает).
• Для $r > \frac{p}{6}$, подставив значение $r$ в производную, мы видим, что $p \pi r — 6 \pi r^2$ будет отрицательным (производная отрицательна, объем убывает).

Таким образом, функция объема имеет максимум при $r = \frac{p}{6}$.

6. Находим максимальный объем

Теперь, подставим значение $r = \frac{p}{6}$ в выражение для объема, чтобы найти максимальный объем:

$$V \left( \frac{p}{6} \right) = \pi \left( \frac{p}{6} \right)^2 \left( \frac{p}{2} — 2 \cdot \frac{p}{6} \right)$$

Сначала упрощаем выражение в скобках:

$$\frac{p}{2} — 2 \cdot \frac{p}{6} = \frac{p}{2} — \frac{p}{3} = \frac{3p}{6} — \frac{2p}{6} = \frac{p}{6}$$

Теперь подставим в выражение для объема:

$$V \left( \frac{p}{6} \right) = \pi \left( \frac{p}{6} \right)^2 \cdot \frac{p}{6}$$ $$V \left( \frac{p}{6} \right) = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6}$$ $$V \left( \frac{p}{6} \right) = \frac{\pi p^3}{216}$$

7. Ответ

Максимальный объем цилиндра равен $\frac{\pi p^3}{216}$.

Ответ: $\boxed{\frac{\pi p^3}{216}}$.