ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1525 Алимов — Подробные Ответы

Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.

Отобразим условие задачи:

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота конуса;

Радиус шара равен $R$ и конус вписан в него, значит осевое сечение конуса вписано в окружность радиуса $R$, а диаметр шара является гипотенузой треугольника, высота, опущенная на гипотензу которого, равна $r$:

$$r = \sqrt{h \cdot (2R — h)}$$ $$r^2 = 2Rh — h^2$$

Объем конуса:

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi h r^2 = \frac{1}{3} \pi h \cdot (2Rh — h^2) = \frac{2}{3} \pi R h^2 — \frac{1}{3} \pi h^3$$

Производная функции:

$$V'(h) = \frac{2}{3} \pi R (h^2)’ — \frac{1}{3} \pi (h^3)’ = \frac{4}{3} \pi R h — \pi h^2$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{4}{3} \pi R h — \pi h^2 > 0$$ $$4 \pi R h — 3 \pi h^2 > 0$$ $$\pi h \cdot (4R — 3h) > 0$$ $$h \cdot (3h — 4R) < 0$$ $$0 < h < \frac{4R}{3}$$

Искомые значения:

$$h = \frac{4R}{3} \quad \text{— точка максимума;}$$

Ответ: $\boxed{\frac{4R}{3}}$

Шаг 1: Условие задачи и зависимость радиуса от высоты

Мы знаем, что радиус основания конуса $r$ и его высота $h$ связаны между собой через следующее выражение:

$$r = \sqrt{h \cdot (2R — h)}$$

где $R$ — радиус шара, в который вписан конус.

Из этого выражения мы можем получить квадрат радиуса основания конуса $r^2$:

$$r^2 = 2Rh — h^2$$

Это уравнение определяет зависимость $r^2$ от высоты $h$.

Шаг 2: Формула объема конуса

Объем конуса можно выразить через радиус основания $r$ и высоту $h$ следующим образом:

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi h r^2$$

Подставляя выражение для $r^2$:

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi h \cdot (2Rh — h^2)$$

Раскроем скобки:

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi h \cdot 2Rh — \frac{1}{3} \pi h \cdot h^2$$ $$V(h) = \frac{2}{3} \pi R h^2 — \frac{1}{3} \pi h^3$$

Теперь у нас есть полная формула для объема конуса как функции от высоты $h$:

$$V(h) = \frac{2}{3} \pi R h^2 — \frac{1}{3} \pi h^3$$

Шаг 3: Нахождение производной объема

Чтобы найти точку максимума, необходимо вычислить производную объема $V'(h)$:

$$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{2}{3} \pi R h^2 — \frac{1}{3} \pi h^3 \right)$$

Вычисляем производную каждого члена:

$$V'(h) = \frac{2}{3} \pi R \cdot 2h — \frac{1}{3} \pi \cdot 3h^2$$ $$V'(h) = \frac{4}{3} \pi R h — \pi h^2$$

Шаг 4: Найдем точки критического значения

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$$V'(h) = \frac{4}{3} \pi R h — \pi h^2 = 0$$

Выносим $\pi h$ за скобки:

$$\pi h \left( \frac{4}{3} R — h \right) = 0$$

Это уравнение равно нулю, если либо $h = 0$, либо $\frac{4}{3} R — h = 0$.

Таким образом, $h = 0$ — это одна из точек, но это минимальная точка объема, поскольку объем конуса равен нулю, когда его высота равна нулю.

Решение второго уравнения:

$$\frac{4}{3} R — h = 0$$ $$h = \frac{4R}{3}$$

Это и есть точка максимума объема конуса.

Шаг 5: Промежуток возрастания и убывания

Для нахождения промежутка, на котором объем возрастает, исследуем знак производной $V'(h)$. Из уравнения $V'(h) = \frac{4}{3} \pi R h — \pi h^2$, мы видим, что производная меняет знак на нуле при $h = \frac{4R}{3}$. Поскольку для $h > \frac{4R}{3}$ производная отрицательна, а для $h < \frac{4R}{3}$ — положительна, то функция объема возрастает до этой точки, а после убывает.

Шаг 6: Ответ

Точка максимума объема конуса достигается при $h = \frac{4R}{3}$. Следовательно, максимальный объем конуса достигается при высоте:

$$h = \frac{4R}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{4R}{3}}$.