ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1524 Алимов — Подробные Ответы

Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Радиус шара равен $R$ и цилиндр вписан в него, значит диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара:

$$(2r)^2 + h^2 = d^2;$$ $$4r^2 + h^2 = (2R)^2;$$ $$4r^2 = 4R^2 — h^2;$$ $$r^2 = R^2 — \frac{h^2}{4};$$

Объем цилиндра:

$$V(h) = \pi r^2 \cdot h = \pi h \cdot \left(R^2 — \frac{h^2}{4}\right) = \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4};$$

Производная функции:

$$V'(h) = \pi R^2 (h)’ — \frac{\pi}{4} (h^3)’ = \pi R^2 — \frac{3\pi}{4} h^2;$$

Промежуток возрастания:

$$\pi R^2 — \frac{3\pi}{4} h^2 > 0;$$ $$4\pi R^2 — 3\pi h^2 > 0;$$ $$3\pi h^2 < 4\pi R^2;$$ $$h^2 < \frac{4R^2}{3};$$ $$-\frac{2R}{\sqrt{3}} < h < \frac{2R}{\sqrt{3}};$$

Искомые значения:

$$h = \frac{2R}{\sqrt{3}} \quad \text{точка максимума};$$

Ответ: $\boxed{\frac{2R}{\sqrt{3}}}$.

Нам необходимо найти высоту $h$ цилиндра, вписанного в шар с радиусом $R$, при которой объем цилиндра максимален. В процессе будем использовать известные геометрические соотношения для цилиндра и шара.

Шаг 1: Геометрия задачи

Цилиндр вписан в шар, что означает, что его осевое сечение (сечение через ось цилиндра) совпадает с диаметром шара. Это позволяет нам использовать теорему Пифагора для нахождения связи между радиусом основания цилиндра и высотой цилиндра.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара, который равен $2R$.
2. Радиус основания цилиндра равен $r$, а высота цилиндра равна $h$.

Диагональ осевого сечения цилиндра, как гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты — это радиус основания цилиндра и высота, удовлетворяет теореме Пифагора:

$$(2r)^2 + h^2 = (2R)^2.$$

Развернем это уравнение:

$$4r^2 + h^2 = 4R^2.$$

Решаем это уравнение относительно $r^2$:

$$r^2 = R^2 — \frac{h^2}{4}.$$

Теперь у нас есть выражение для радиуса основания $r$ через высоту $h$ и радиус шара $R$.

Шаг 2: Объем цилиндра

Объем цилиндра $V$ вычисляется по стандартной формуле:

$$V = \pi r^2 h.$$

Подставим выражение для $r^2$, которое мы нашли на предыдущем шаге:

$$V(h) = \pi \left( R^2 — \frac{h^2}{4} \right) h.$$

Раскроем скобки:

$$V(h) = \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4}.$$

Это выражение для объема цилиндра как функции от высоты $h$.

Шаг 3: Нахождение производной объема

Для нахождения максимума объема найдем производную функции $V(h)$ по $h$. Это позволит найти критические точки, где объем достигает максимума или минимума.

Вычислим производную $V'(h)$:

$$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \pi h R^2 — \frac{\pi h^3}{4} \right).$$

Рассмотрим производные каждого слагаемого:

1. Производная от $\pi h R^2$ по $h$ равна $\pi R^2$.
2. Производная от $-\frac{\pi h^3}{4}$ по $h$ равна $-\frac{3\pi h^2}{4}$.

Итак, производная объема:

$$V'(h) = \pi R^2 — \frac{3\pi h^2}{4}.$$

Шаг 4: Нахождение критической точки

Для нахождения максимума объема приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$\pi R^2 — \frac{3\pi h^2}{4} = 0.$$

Умножим обе части уравнения на 4:

$$4 \pi R^2 = 3 \pi h^2.$$

Теперь делим обе части на $\pi$:

$$4 R^2 = 3 h^2.$$

Решим относительно $h^2$:

$$h^2 = \frac{4 R^2}{3},$$ $$h = \frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Таким образом, высота цилиндра $h$, при которой его объем максимален, равна $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Шаг 5: Проверка на максимум

Чтобы убедиться, что это именно точка максимума, можно рассмотреть знак производной на интервалах. Мы знаем, что производная $V'(h) = \pi R^2 — \frac{3\pi h^2}{4}$ меняет знак в точке $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$, и так как производная меняет знак с положительного на отрицательное, это подтверждает, что в точке $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ объем достигает максимума.

Шаг 6: Ответ

Итак, высота цилиндра, при которой его объем максимален, равна:

$$\boxed{\frac{2R}{\sqrt{3}}}.$$