ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1523 Алимов — Подробные Ответы

Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Радиус шара равен $R$ и цилиндр вписан в него, значит диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара:

$$(2r)^2 + h^2 = d^2;$$ $$4r^2 + h^2 = (2R)^2;$$ $$h^2 = 4R^2 — 4r^2;$$ $$h = 2\sqrt{R^2 — r^2};$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S(r) = 2\pi r \cdot h = 2\pi r \cdot 2\sqrt{R^2 — r^2} = 4\left(\pi r \sqrt{R^2 — r^2}\right);$$

Производная функции:

$$S'(r) = 4\left((\pi r)’ \cdot \sqrt{R^2 — r^2} + \pi r \cdot (R^2 — r^2)^{\frac{1}{2}}\right);$$ $$S'(r) = 4\left(\pi \cdot \sqrt{R^2 — r^2} + \pi r \cdot (-2r) \cdot \frac{1}{2} \cdot (R^2 — r^2)^{-\frac{1}{2}}\right);$$ $$S'(r) = 4\pi \cdot \frac{(R^2 — r^2) — r^2}{\sqrt{4R^2 — r^2}} = 4\pi \cdot \frac{R^2 — 2r^2}{\sqrt{4R^2 — r^2}};$$

Промежуток возрастания:

$$R^2 — 2r^2 > 0;$$ $$2r^2 < R^2;$$ $$r^2 < \frac{R^2}{2};$$ $$-\frac{R}{\sqrt{2}} < r < \frac{R}{\sqrt{2}};$$

Искомые значения:

$$r = \frac{R}{\sqrt{2}} \text{ — точка максимума};$$

Ответ: $\boxed{\frac{R}{\sqrt{2}}}$.

Задание

• Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — его высота.
• Цилиндр вписан в шар с радиусом $R$, и нам нужно найти радиус основания цилиндра $r$, при котором площадь боковой поверхности будет максимальной.

Шаг 1: Условие задачи

Цилиндр вписан в шар, и из этого мы делаем важное замечание: диагональ осевого сечения цилиндра совпадает с диаметром шара. Мы рассмотрим сечение цилиндра через его ось, которое будет прямоугольным треугольником, гипотенуза которого — это диаметр шара.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $2r$ (где $r$ — радиус основания цилиндра).
2. Высота цилиндра равна $h$.
3. Диагональ сечения цилиндра совпадает с диаметром шара, который равен $2R$.

Таким образом, из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это диаметр шара, а катеты — это радиус основания цилиндра и его высота, мы можем записать:

$$(2r)^2 + h^2 = (2R)^2.$$

Решим это уравнение для $h$:

$$4r^2 + h^2 = 4R^2,$$ $$h^2 = 4R^2 — 4r^2,$$ $$h = 2\sqrt{R^2 — r^2}.$$

Таким образом, высота цилиндра $h$ выражается через радиус основания $r$ и радиус шара $R$.

Шаг 2: Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра состоит из одного прямоугольного бокового слоя с длиной $2\pi r$ (периметр основания) и высотой $h$. Таким образом, площадь боковой поверхности $S(r)$ цилиндра равна:

$$S(r) = 2\pi r \cdot h.$$

Теперь подставим выражение для $h$, которое мы нашли на предыдущем шаге:

$$S(r) = 2\pi r \cdot 2\sqrt{R^2 — r^2},$$ $$S(r) = 4\pi r \sqrt{R^2 — r^2}.$$

Таким образом, функция площади боковой поверхности $S(r)$ зависит от радиуса основания $r$ и радиуса шара $R$.

Шаг 3: Нахождение производной площади

Для нахождения максимума площади боковой поверхности найдем производную функции $S(r)$ по $r$, чтобы затем найти точки, где площадь достигает максимума или минимума.

Вычислим производную:

$$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 4\pi r \sqrt{R^2 — r^2} \right).$$

Применим правило произведения для дифференцирования:

$$S'(r) = 4\pi \left( \sqrt{R^2 — r^2} + r \cdot \frac{d}{dr} \left( \sqrt{R^2 — r^2} \right) \right).$$

Теперь найдем производную от $\sqrt{R^2 — r^2}$. Применим цепное правило:

$$\frac{d}{dr} \left( \sqrt{R^2 — r^2} \right) = \frac{-2r}{2\sqrt{R^2 — r^2}} = -\frac{r}{\sqrt{R^2 — r^2}}.$$

Теперь подставим это в выражение для $S'(r)$:

$$S'(r) = 4\pi \left( \sqrt{R^2 — r^2} — \frac{r^2}{\sqrt{R^2 — r^2}} \right).$$

Приведем к общему знаменателю:

$$S'(r) = 4\pi \cdot \frac{(R^2 — r^2) — r^2}{\sqrt{R^2 — r^2}} = 4\pi \cdot \frac{R^2 — 2r^2}{\sqrt{R^2 — r^2}}.$$

Шаг 4: Нахождение критической точки

Для нахождения критических точек приравняем производную $S'(r)$ к нулю:

$$4\pi \cdot \frac{R^2 — 2r^2}{\sqrt{R^2 — r^2}} = 0.$$

Поскольку множитель $4\pi$ не равен нулю, приравниваем числитель к нулю:

$$R^2 — 2r^2 = 0,$$ $$2r^2 = R^2,$$ $$r^2 = \frac{R^2}{2},$$ $$r = \frac{R}{\sqrt{2}}.$$

Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором площадь боковой поверхности максимальна, равен $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

Шаг 5: Проверка на максимум

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой максимума, нужно исследовать знак производной $S'(r)$ на интервалах. Мы знаем, что производная $S'(r) = 4\pi \cdot \frac{R^2 — 2r^2}{\sqrt{R^2 — r^2}}$ меняет знак в точке $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$, и, так как функция изменяет знак с возрастания на убывание, это означает, что в точке $r = \frac{R}{\sqrt{2}}$ достигается максимум площади.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором площадь боковой поверхности максимальна, равен:

$$\boxed{\frac{R}{\sqrt{2}}}.$$