ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1522 Алимов — Подробные Ответы

Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен V?

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра;

Объем цилиндра равен $V$, значит:

$$V = \pi r^2 \cdot h, \text{ отсюда } h = \frac{V}{\pi r^2};$$

Площадь поверхности цилиндра:

$$S(r) = (2 \cdot \pi r^2) + (2 \pi r \cdot h) = 2 \pi r^2 + \frac{2 \pi r \cdot V}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r};$$

Производная функции:

$$S'(r) = 2 \pi (r^2)’ + 2V \left( \frac{1}{r} \right)’ = 2 \pi \cdot 2r + 2V \cdot \left( -\frac{1}{r^2} \right) = \frac{4 \pi r^3 — 2V}{r^2};$$

Промежуток возрастания:

$$4 \pi r^3 — 2V > 0;$$ $$4 \pi r^3 > 2V;$$ $$r^3 > \frac{V}{2 \pi}, \text{ отсюда } r > \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}};$$

Искомые значения:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} — \text{ точка минимума};$$ $$S(r) = 2 \pi \cdot \sqrt[3]{\frac{V^2}{4 \pi^2}} + 2V \cdot \sqrt[3]{\frac{2 \pi}{V}} = \sqrt[3]{\frac{8 \pi^3 V^2}{4 \pi^2}} + 2 \sqrt[3]{\frac{V^3 \cdot 2 \pi}{V}} =$$ $$= \sqrt[3]{2 \pi V^2} + 2 \sqrt[3]{2 \pi V^2} = 3 \sqrt[3]{2 \pi V^2};$$

Ответ: $3 \sqrt[3]{2 \pi V^2}$.

Нам дан цилиндр, для которого нужно минимизировать площадь поверхности $S$, при этом объем $V$ остаётся постоянным.

Даны следующие параметры:

• $r$ — радиус основания цилиндра;
• $h$ — высота цилиндра;
• Объем цилиндра равен $V$.

Необходимо найти радиус $r$, при котором площадь поверхности будет минимальной, и вычислить её значение.

Шаг 1: Связь между высотой и объемом

Объем цилиндра выражается через радиус основания $r$ и высоту $h$ по следующей формуле:

$$V = \pi r^2 h.$$

Преобразуем её, чтобы выразить высоту через радиус и объем:

$$h = \frac{V}{\pi r^2}.$$

Шаг 2: Площадь поверхности цилиндра

Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:

1. Площадь двух кругов (основания и верхней поверхности), каждый из которых имеет радиус $r$:

   $$2 \pi r^2.$$

2. Площадь боковой поверхности цилиндра, которая равна площади прямоугольника с длиной $2 \pi r$ и высотой $h$, то есть:

   $$2 \pi r \cdot h.$$

Теперь подставим выражение для $h$ из предыдущего шага в формулу для боковой поверхности:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2}.$$

Упростим:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r}.$$

Шаг 3: Нахождение производной площади

Для минимизации площади поверхности найдем производную функции $S(r)$ по $r$. Это даст нам информацию о точках экстремума (максимума или минимума) функции.

Вычислим производную:

$$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r} \right).$$

Производная от $2 \pi r^2$ по $r$ равна $4 \pi r$, а производная от $\frac{2V}{r}$ по $r$ равна $-\frac{2V}{r^2}$. Следовательно:

$$S'(r) = 4 \pi r — \frac{2V}{r^2}.$$

Шаг 4: Нахождение критической точки

Для нахождения минимальной площади приравняем производную $S'(r)$ к нулю:

$$4 \pi r — \frac{2V}{r^2} = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $r^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$4 \pi r^3 — 2V = 0.$$

Решим это уравнение относительно $r^3$:

$$4 \pi r^3 = 2V,$$ $$r^3 = \frac{V}{2 \pi}.$$

Теперь найдём $r$, взяв кубический корень из обеих частей:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}.$$

Таким образом, радиус, при котором площадь поверхности цилиндра минимальна, равен $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$.

Шаг 5: Проверка на минимум

Для того чтобы убедиться, что найденная точка действительно является точкой минимума, нужно исследовать знак производной $S'(r)$ на интервале. Мы знаем, что производная $S'(r) = 4 \pi r — \frac{2V}{r^2}$ меняет знак на $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$, и так как в точке перехода от возрастания к убыванию функция достигает минимального значения, то $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ — это точка минимума.

Шаг 6: Вычисление минимальной площади

Теперь, подставив найденное значение $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ в исходное выражение для площади поверхности $S(r)$, получим минимальное значение площади. Подставим:

$$S(r) = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r}.$$

Подставим значение $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ в эти выражения:

$$S\left( \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \right) = 2 \pi \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \right)^2 + \frac{2V}{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}}.$$

Для упрощения вычислений можно использовать алгебраические манипуляции, но результат всегда будет $S_{\text{min}} = 3 \sqrt[3]{2 \pi V^2}$.

Ответ

Минимальная площадь поверхности цилиндра будет равна:

$$\boxed{3 \sqrt[3]{2 \pi V^2}}.$$