Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.
Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.
Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.
Преимущества учебника
- Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения. - Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач. - Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам. - Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры. - Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.
Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1522 Алимов — Подробные Ответы
Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен V?
Пусть и — радиус основания и высота цилиндра;
Объем цилиндра равен , значит:
Площадь поверхности цилиндра:
Производная функции:
Промежуток возрастания:
Искомые значения:
Ответ: .
Нам дан цилиндр, для которого нужно минимизировать площадь поверхности , при этом объем остаётся постоянным.
Даны следующие параметры:
- — радиус основания цилиндра;
- — высота цилиндра;
- Объем цилиндра равен .
Необходимо найти радиус , при котором площадь поверхности будет минимальной, и вычислить её значение.
Шаг 1: Связь между высотой и объемом
Объем цилиндра выражается через радиус основания и высоту по следующей формуле:
Преобразуем её, чтобы выразить высоту через радиус и объем:
Шаг 2: Площадь поверхности цилиндра
Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:
- Площадь двух кругов (основания и верхней поверхности), каждый из которых имеет радиус :
- Площадь боковой поверхности цилиндра, которая равна площади прямоугольника с длиной и высотой , то есть:
Теперь подставим выражение для из предыдущего шага в формулу для боковой поверхности:
Упростим:
Шаг 3: Нахождение производной площади
Для минимизации площади поверхности найдем производную функции по . Это даст нам информацию о точках экстремума (максимума или минимума) функции.
Вычислим производную:
Производная от по равна , а производная от по равна . Следовательно:
Шаг 4: Нахождение критической точки
Для нахождения минимальной площади приравняем производную к нулю:
Умножим обе части уравнения на , чтобы избавиться от знаменателя:
Решим это уравнение относительно :
Теперь найдём , взяв кубический корень из обеих частей:
Таким образом, радиус, при котором площадь поверхности цилиндра минимальна, равен .
Шаг 5: Проверка на минимум
Для того чтобы убедиться, что найденная точка действительно является точкой минимума, нужно исследовать знак производной на интервале. Мы знаем, что производная меняет знак на , и так как в точке перехода от возрастания к убыванию функция достигает минимального значения, то — это точка минимума.
Шаг 6: Вычисление минимальной площади
Теперь, подставив найденное значение в исходное выражение для площади поверхности , получим минимальное значение площади. Подставим:
Подставим значение в эти выражения:
Для упрощения вычислений можно использовать алгебраические манипуляции, но результат всегда будет .
Ответ
Минимальная площадь поверхности цилиндра будет равна:
Задачи для внеклассной работы