ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1521 Алимов — Подробные Ответы

Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Пусть $r$ и $h$ дм — радиус основания и высота конуса;

Образующая конуса равна 20 дм, значит:

$$l^2 = r^2 + h^2;$$ $$r^2 = l^2 — h^2 = 20^2 — h^2 = 400 — h^2;$$

Объем конуса:

$$V(h) = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi (400 — h^2) \cdot h = \frac{1}{3} (400 \pi h — \pi h^3);$$

Производная функции:

$$V'(h) = \frac{1}{3} \cdot (400 \pi (h)’ — \pi (h^3)’) = \frac{1}{3} \cdot (400 \pi — \pi \cdot 3h^2);$$

Промежуток возрастания:

$$400 \pi — 3 \pi h^2 > 0;$$ $$400 — 3h^2 > 0;$$ $$3h^2 < 400;$$ $$h^2 < \frac{400}{3};$$ $$-\frac{20}{\sqrt{3}} < h < \frac{20}{\sqrt{3}};$$

Искомые значения:

$$h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \quad \text{— точка максимума;}$$

Ответ: $\boxed{\frac{20 \sqrt{3}}{3}}$ дм.

Даны параметры конуса:

• $r$ — радиус основания (в дециметрах);
• $h$ — высота конуса (в дециметрах);
• Образующая конуса равна 20 дм.

Необходимо найти значение высоты $h$, при котором объем конуса максимален.

Шаг 1: Выражение радиуса через высоту

Из условия задачи мы знаем, что образующая конуса $l$ равна 20 дм. Образующая, радиус и высота конуса образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это образующая $l$, один из катетов — радиус основания $r$, а другой катет — высота $h$. Применим теорему Пифагора:

$$l^2 = r^2 + h^2.$$

Подставим значение $l = 20$:

$$20^2 = r^2 + h^2.$$

Решим это уравнение для $r^2$:

$$r^2 = 20^2 — h^2 = 400 — h^2.$$

Теперь у нас есть выражение для $r^2$ через $h$:

$$r^2 = 400 — h^2.$$

Шаг 2: Выражение объема конуса через высоту

Объем конуса можно найти по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h,$$

где $S$ — площадь основания конуса (круга). Площадь круга с радиусом $r$ вычисляется как:

$$S = \pi r^2.$$

Подставляем выражение для $r^2$:

$$S = \pi (400 — h^2).$$

Теперь объем конуса $V(h)$ выражается как:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi (400 — h^2) \cdot h.$$

Упростим выражение:

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi (400h — h^3).$$

Шаг 3: Нахождение производной объема

Для нахождения максимума объема $V(h)$ необходимо найти производную функции объема $V'(h)$ и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки.

Вычислим производную объема:

$$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{1}{3} \pi (400h — h^3) \right).$$

Производная от $400h$ равна $400$, а производная от $h^3$ равна $3h^2$. Таким образом:

$$V'(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 400 — 3h^2 \right).$$

Шаг 4: Нахождение критических точек

Для нахождения максимума объема приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$\frac{1}{3} \pi (400 — 3h^2) = 0.$$

Умножим обе части уравнения на 3:

$$\pi (400 — 3h^2) = 0.$$

Поскольку $\pi \neq 0$, делим обе части на $\pi$:

$$400 — 3h^2 = 0.$$

Решаем это уравнение относительно $h^2$:

$$3h^2 = 400,$$ $$h^2 = \frac{400}{3},$$ $$h = \frac{20}{\sqrt{3}}.$$

Это значение для $h$ и будет точкой, в которой объем конуса максимален.

Шаг 5: Проверка максимума

Чтобы убедиться, что найденная точка $h = \frac{20}{\sqrt{3}}$ действительно соответствует максимуму объема, проверим знак второй производной или знак первой производной на интервале.

Первая производная $V'(h) = \frac{1}{3} \pi (400 — 3h^2)$ возрастает, когда $h < \frac{20}{\sqrt{3}}$, и убывает, когда $h > \frac{20}{\sqrt{3}}$. Следовательно, функция достигает максимума в точке $h = \frac{20}{\sqrt{3}}$.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, максимальный объем конуса будет достигнут при высоте $h = \frac{20}{\sqrt{3}}$ дм.

Ответ:

$$\boxed{\frac{20 \sqrt{3}}{3}} \text{ дм}.$$