ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1520 Алимов — Подробные Ответы

Каковы должны быть коэффициенты р и q квадратичной функции у = х2 + рх + q, чтобы при х = 5 она имела минимум, равный 1?

Дана функция:

$$y = x^2 + px + q;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (px + 1)’ = 2x + p;$$

Промежуток возрастания:

$$2x + p > 0, \text{ отсюда } p > -2x;$$

Функция имеет минимум при $x = 5$, значит:

$$p = -2x — \text{точка минимума};$$ $$p = -2 \cdot 5 = -10;$$

Минимум функции равен 1, значит:

$$1 = 5^2 + (-10) \cdot 5 + q;$$ $$1 = 25 — 50 + q;$$ $$1 = -25 + q, \text{ отсюда } q = 26;$$

Ответ: $p = -10; \, q = 26.$

Дана функция $y = x^2 + px + q$, где $p$ и $q$ — это неизвестные коэффициенты. Нужно найти значения этих коэффициентов, если известно, что функция имеет минимум в точке $x = 5$ и её минимальное значение равно 1.

Шаг 1: Вычисление производной функции

Для нахождения точки минимума функции нам необходимо найти производную $y'(x)$, так как экстремумы функции (минимумы и максимумы) возникают в точках, где производная равна нулю или не существует.

Дана функция:

$$y = x^2 + px + q.$$

Применим правила дифференцирования для каждого слагаемого:

1. Производная от $x^2$ — это $2x$.
2. Производная от $px$ — это $p$, так как $p$ — это константа.
3. Производная от $q$ — это $0$, так как $q$ — это константа.

Таким образом, производная функции $y'(x)$:

$$y'(x) = 2x + p.$$

Шаг 2: Условие минимума

Мы знаем, что функция имеет минимум при $x = 5$. Это означает, что производная функции $y'(x)$ должна быть равна нулю в точке $x = 5$, так как в точке минимума или максимума производная всегда равна нулю.

Приравняем производную к нулю:

$$y'(5) = 2 \cdot 5 + p = 0.$$

Решаем это уравнение для $p$:

$$10 + p = 0,$$ $$p = -10.$$

Таким образом, значение $p$ равно $-10$.

Шаг 3: Используем значение минимума

Теперь, когда мы знаем, что $p = -10$, используем информацию о минимуме функции, который равен 1. Это означает, что при $x = 5$, значение функции $y$ равно 1. Подставим $x = 5$ и $p = -10$ в исходное уравнение функции и приравняем его к 1:

$$y(5) = 5^2 + (-10) \cdot 5 + q = 1.$$

Вычислим:

$$25 — 50 + q = 1,$$ $$-25 + q = 1,$$ $$q = 1 + 25 = 26.$$

Таким образом, значение $q$ равно $26$.

Шаг 4: Ответ

Итак, мы нашли значения коэффициентов:

$$p = -10, \quad q = 26.$$

Подтверждение

Чтобы подтвердить правильность решения, подставим найденные значения $p = -10$ и $q = 26$ обратно в исходную функцию:

$$y = x^2 — 10x + 26.$$

Теперь вычислим производную этой функции:

$$y'(x) = 2x — 10.$$

При $x = 5$:

$$y'(5) = 2 \cdot 5 — 10 = 0,$$

что подтверждает, что точка $x = 5$ является точкой минимума.

Теперь вычислим значение функции в точке $x = 5$:

$$y(5) = 5^2 — 10 \cdot 5 + 26 = 25 — 50 + 26 = 1.$$

Это соответствует условию, что минимум функции равен 1.

Ответ

Таким образом, значения коэффициентов:

$$p = -10, \quad q = 26.$$