ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1519 Алимов — Подробные Ответы

На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть $x$ — абсцисса одной из симметричных вершин, тогда:

• $(-x)$ — абсцисса второй вершины треугольника;
• $y(\pm x) = 4(\pm x)^2 = 4x^2$ — ординаты вершин;
• $AB = x — (-x) = 2x$ — длина основания;

Точка $K(3; 6)$ — является серединой одной из сторон $AC$ или $BC$, пусть точка $C$ имеет ординату, равную $y_c$, тогда:

$$6 = \frac{4x^2 + y_c}{2};$$ $$12 = 4x^2 + y_c;$$ $$y_c = 12 — 4x^2;$$ $$h = (12 — 4x^2) — 4x^2 = 12 — 8x^2 \quad \text{— высота треугольника};$$

Площадь треугольника:

$$S(x) = \frac{1}{2} h \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot (12 — 8x^2) \cdot 2x = 12x — 8x^3;$$

Производная функции:

$$S'(x) = (12x)’ — 8(x^3)’ = 12 — 8 \cdot 3x^2 = 12 — 24x^2;$$

Промежуток возрастания:

$$12 — 24x^2 > 0;$$ $$1 — 2x^2 > 0;$$ $$2x^2 < 1;$$ $$x^2 < \frac{1}{2};$$ $$-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}};$$

Искомые значения:

$$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{— точка максимума};$$ $$S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} — 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{12\sqrt{2}}{2} — \frac{8}{2\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2};$$

Ответ: $4\sqrt{2}$.

Нужно найти максимальную площадь треугольника, у которого одна из вершин симметрична относительно оси $y$. Дано, что вершины треугольника имеют координаты $A(x, 4x^2)$ и $B(-x, 4x^2)$. Вершина $C$ имеет ординату $y_c$, а точка $K(3; 6)$ является серединой стороны $AC$ или $BC$.

Шаг 1: Определим геометрические параметры

Ординаты вершин: Из условия задачи, координаты точек $A$ и $B$ являются симметричными относительно оси $y$. Для точки $A$ абсцисса равна $x$, а ордината $y = 4x^2$. Для точки $B$ абсцисса равна $-x$, а ордината будет такая же, то есть $y = 4x^2$.

Длина основания $AB$: Длина основания $AB$ — это расстояние между точками $A(x, 4x^2)$ и $B(-x, 4x^2)$, которое можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками на оси $x$:

$$AB = x — (-x) = 2x.$$

Координаты точки $K(3; 6)$: Точка $K$ — это середина одной из сторон треугольника. Мы будем исходить из того, что точка $K$ является серединой отрезка $AC$, где точка $C$ имеет ординату $y_c$. Мы будем искать ординату точки $C$ и затем вычислим высоту треугольника.

Шаг 2: Найдем ординату точки $C$

Точка $K$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому координаты точки $K(3; 6)$ равны среднему арифметическому ординат точек $A(x, 4x^2)$ и $C(x, y_c)$:

$$y_K = \frac{4x^2 + y_c}{2}.$$

Мы знаем, что $y_K = 6$, следовательно:

$$6 = \frac{4x^2 + y_c}{2}.$$

Умножим обе части на 2:

$$12 = 4x^2 + y_c.$$

Из этого уравнения выражаем $y_c$:

$$y_c = 12 — 4x^2.$$

Шаг 3: Найдем высоту треугольника

Высота треугольника — это расстояние между прямыми, на которых лежат основания $AB$ и $AC$ (или $BC$).

Для этого из ординаты точки $C$ вычитаем ординату точки $A$, так как они лежат на разных прямых. Ордината точки $C$ равна $y_c = 12 — 4x^2$, а ордината точки $A$ равна $4x^2$. Таким образом, высота треугольника:

$$h = y_c — 4x^2 = (12 — 4x^2) — 4x^2 = 12 — 8x^2.$$

Шаг 4: Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.$$

Основание $AB$ равно $2x$, а высота $h$ равна $12 — 8x^2$. Подставляем эти значения в формулу для площади:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (12 — 8x^2) \cdot 2x.$$

Упростим:

$$S(x) = (12 — 8x^2) \cdot x = 12x — 8x^3.$$

Шаг 5: Нахождение производной площади

Для нахождения максимума площади треугольника нужно вычислить производную функции $S(x)$ и найти критические точки.

Вычислим производную:

$$S'(x) = (12x)’ — 8(x^3)’ = 12 — 24x^2.$$

Шаг 6: Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравняем производную $S'(x)$ к нулю:

$$12 — 24x^2 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$24x^2 = 12,$$ $$x^2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2},$$ $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 7: Исследование знаков производной

Чтобы найти максимальную площадь, нужно исследовать знак производной $S'(x) = 12 — 24x^2$.

1. Если $x < \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $S'(x) > 0$, функция возрастает.
2. Если $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $S'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, точка $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ является точкой максимума площади.

Шаг 8: Нахождение максимальной площади

Теперь, когда мы нашли точку максимума $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, подставим её в выражение для площади $S(x)$:

$$S\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} — 8 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3.$$

1. $12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$,
2. $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$, следовательно, $8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

Теперь вычислим площадь:

$$S\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 6\sqrt{2} — 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.$$

Ответ

Максимальная площадь треугольника равна $4\sqrt{2}$.

$$\boxed{4\sqrt{2}}.$$