ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1518 Алимов — Подробные Ответы

На координатной плоскости даны точки Л (3; -1) и D (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = 1-х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Вершины одного из оснований трапеции находятся в точках $A(3; -1)$ и $D(4; -1)$, то есть они лежат на прямой:

$$y = -1;$$

Длина отрезка $AD$:

$$AD = 4 — 3 = 1;$$

Пусть $x$ — абсцисса одной из вершин второго основания, тогда $(-x)$ — абсцисса второй точки ($y = 1 — x^2$ — четная функция);

$$BC = x — (-x) = 2x \text{ — длина второго основания};$$ $$h = y(x) — (-1) = (1 — x^2) + 1 = 2 — x^2;$$

Площадь трапеции:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AD + BC) = \frac{1}{2} \cdot (2 — x^2) \cdot (2x + 1);$$ $$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (4x + 2 — 2x^3 — x^2);$$

Производная функции:

$$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( (4x + 2)’ — 2(x^3)’ — (x^2)’ \right);$$ $$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot (4 — 2 \cdot 3x^2 — 2x) = 2 — 3x^2 — x;$$

Промежуток возрастания:

$$2 — 3x^2 — x > 0;$$ $$3x^2 + x — 2 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25; \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$ $$(x + 1)\left(x — \frac{2}{3}\right) < 0;$$ $$-1 < x < \frac{2}{3};$$

Искомые значения:

$$x = \frac{2}{3} \text{ — точка максимума; }$$ $$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 — 2 \cdot \frac{8}{27} — \frac{4}{9} \right) = \frac{49}{27} = 1 \frac{22}{27};$$

Ответ: $1 \frac{22}{27}$.

Нам дана трапеция, основание которой имеет длины $AD = 1$ и $BC = 2x$, где $x$ — абсцисса одной из вершин второго основания. Мы также знаем, что $y = 1 — x^2$ — четная функция, и нам нужно найти максимальную площадь этой трапеции.

Шаг 1: Выражение длины основания и высоты

Длина основания $AD$: Поскольку точка $A(3, -1)$ и точка $D(4, -1)$ лежат на прямой $y = -1$, то длина отрезка $AD$ на оси $x$ равна:

$$AD = 4 — 3 = 1.$$

Длина второго основания $BC$: Пусть $x$ — абсцисса одной из вершин второго основания, то $(-x)$ — абсцисса второй вершины. Поскольку эти точки симметричны относительно оси $y$, длина второго основания $BC$ будет равна:

$$BC = x — (-x) = 2x.$$

Высота трапеции: Высота трапеции определяется как расстояние между прямыми $y = -1$ и $y = 1 — x^2$. Это выражение для высоты $h$ равно разности между значениями $y$ для вершины второго основания и прямой $y = -1$:

$$h = y(x) — (-1) = (1 — x^2) + 1 = 2 — x^2.$$

Шаг 2: Формула для площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле для площади трапеции:

$$S = \frac{1}{2} \cdot (b_1 + b_2) \cdot h,$$

где $b_1$ и $b_2$ — это длины оснований, а $h$ — высота. Подставим наши выражения для $b_1 = AD = 1$, $b_2 = BC = 2x$, и $h = 2 — x^2$:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (1 + 2x) \cdot (2 — x^2).$$

Теперь раскроем скобки и упростим:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( (1 + 2x) \cdot (2 — x^2) \right),$$

раскрываем скобки:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( 2 + 4x — x^2 — 2x^3 \right).$$

Таким образом, площадь трапеции:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (4x + 2 — 2x^3 — x^2).$$

Шаг 3: Нахождение производной площади

Для того чтобы найти точку максимума площади, нам нужно найти производную функции площади $S(x)$ и приравнять её к нулю.

Производная от $S(x)$:

$$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( (4x + 2)’ — 2(x^3)’ — (x^2)’ \right).$$

1. Производная от $4x + 2$ равна $4$.
2. Производная от $-2x^3$ равна $-6x^2$.
3. Производная от $-x^2$ равна $-2x$.

Подставляем это в выражение для производной:

$$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot (4 — 6x^2 — 2x).$$

Упростим:

$$S'(x) = 2 — 3x^2 — x.$$

Шаг 4: Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравняем производную $S'(x)$ к нулю:

$$2 — 3x^2 — x = 0.$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$3x^2 + x — 2 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $3x^2 + x — 2 = 0$, где $a = 3$, $b = 1$, и $c = -2$, дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Шаг 5: Исследование знака производной

Теперь исследуем знак производной, чтобы определить, где функция увеличивается, а где убывает.

Решаем неравенство:

$$(3x + 1)(x — \frac{2}{3}) < 0.$$

Это неравенство верно на интервале $-1 < x < \frac{2}{3}$, что означает, что функция $S(x)$ возрастает на интервале $-1 < x < \frac{2}{3}$ и убывает на интервале $x > \frac{2}{3}$.

Таким образом, точка $x = \frac{2}{3}$ является точкой максимума площади.

Шаг 6: Вычисление максимальной площади

Теперь вычислим максимальное значение площади $S(x)$ при $x = \frac{2}{3}$.

Подставляем $x = \frac{2}{3}$ в выражение для площади:

$$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 — 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 — \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right).$$

Вычисляем каждое слагаемое:

1. $4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$,
2. $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$,
3. $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Теперь подставляем:

$$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} + 2 — 2 \cdot \frac{8}{27} — \frac{4}{9} \right).$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} — \frac{16}{27} — \frac{12}{27} \right).$$

Преобразуем:

$$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{14}{3} — \frac{28}{27} \right).$$

Теперь приводим к общему знаменателю:

$$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{126}{27} = \frac{63}{27} = 1 \frac{22}{27}.$$

Ответ

Максимальная площадь трапеции равна $1 \frac{22}{27}$.

$$\boxed{1 \frac{22}{27}}.$$