ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1517 Алимов — Подробные Ответы

На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до точки А (2; 1/2) является наименьшим.

Дана функция $y=x^2$ и точка $A(2;\frac{1}{2})$;

Пусть $a$ и $b$ — абсцисса и ордината искомой точки, тогда:

$$b=a^2;$$

Расстояние между точками:

$$d(a)=\sqrt{(2-a{)}^2+{(0.5-b)}^2}=\sqrt{(2-a{)}^2+(0.5-a^2{)}^2};$$$$d(a)=\sqrt{4-4a+a^2+0.25-a^2+a^4};$$$$d(a)=\sqrt{a^4-4a+4.25};$$

Пусть $u=a^4-4a+4.25$, тогда $d(u)=\sqrt{u}$;

$$d^{\mathrm{\prime }}(a)=(a^4-4a+4.25{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }};$$$$d^{\mathrm{\prime }}(a)=(4a^3-4)\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}=\frac{2a^3-2}{\sqrt{a^4-4a+4.25}};$$

Промежуток возрастания:

$$2a^3-2>0;$$$$a^3-1>0;$$$$a^3>1,\text{ отсюда }a>1;$$

Искомые значения:

$$a=1\text{ — точка минимума; }$$$$b=1^2=1;$$

Ответ: $(1;1)$.

Дана функция $y=x^2$ и точка $A(2;\frac{1}{2})$.

Нужно найти точку на графике функции, которая находится на минимальном расстоянии от точки $A$. Пусть абсцисса этой точки будет $a$, а ордината $b$. Требуется найти точку, где это расстояние минимально.

Шаг 1: Определение функции расстояния

Чтобы найти минимальное расстояние между точкой $A(2;\frac{1}{2})$ и графиком функции $y=x^2$, нам нужно выразить это расстояние как функцию от абсциссы $a$.

1. Из уравнения функции $y=x^2$ для искомой точки на графике видно, что ордината искомой точки будет равна $b=a^2$.
2. Используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$, находим расстояние между точкой $A(2;\frac{1}{2})$ и точкой $P(a;a^2)$ на графике функции:

$$d(a)=\sqrt{(2-a{)}^2+{(\frac{1}{2}-a^2)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение выражения для расстояния

Раскроем скобки и упростим выражение для $d(a)$.

$$d(a)=\sqrt{(2-a{)}^2+{(\frac{1}{2}-a^2)}^2}\mathrm{.}$$

Раскроем квадраты в первом и во втором слагаемом:

$$d(a)=\sqrt{(2-a{)}^2+{(\frac{1}{2}-a^2)}^2}=\sqrt{(4-4a+a^2)+(0.25-a^4+a^2)}\mathrm{.}$$

Теперь упростим:

$$d(a)=\sqrt{4-4a+a^2+0.25-a^4+a^2}\mathrm{.}$$$$d(a)=\sqrt{-a^4+2a^2-4a+4.25}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Введение новой переменной

Для упрощения выражения введём новую переменную $u$:

$$u=-a^4+2a^2-4a+\mathrm{4.25.}$$

Тогда:

$$d(a)=\sqrt{u}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Нахождение производной функции расстояния

Для нахождения минимального расстояния нужно вычислить производную функции $d(a)$ по $a$ и приравнять её к нулю.

Для этого применим правило дифференцирования сложной функции:

$$d^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{d}{da}\left(\sqrt{u}\right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{d}{da}(u)\mathrm{.}$$

Теперь найдём производную функции $u=-a^4+2a^2-4a+4.25$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{d}{da}(-a^4+2a^2-4a+4.25)\mathrm{.}$$

Применим стандартные правила дифференцирования:

$$u^{\mathrm{\prime }}(a)=-4a^3+4a-4.$$

Следовательно, производная $d^{\mathrm{\prime }}(a)$ будет равна:

$$d^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{-4a^3+4a-4}{2\sqrt{u}}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравняем производную $d^{\mathrm{\prime }}(a)$ к нулю:

$$\frac{-4a^3+4a-4}{2\sqrt{u}}=0.$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю (он всегда положителен, так как $u\ge 0$ для всех $a$), приравниваем числитель к нулю:

$$-4a^3+4a-4=0.$$

Упростим это уравнение:

$$a^3-a+1=0.$$

Решим это уравнение. Одним из способов является подстановка $a=1$, которая является корнем уравнения, так как:

$$1^3-1+1=0.$$

Таким образом, $a=1$ — критическая точка.

Шаг 6: Анализ знака производной

Чтобы определить, является ли точка $a=1$ точкой минимума, нужно исследовать знак производной на интервале. Рассмотрим выражение $d^{\mathrm{\prime }}(a)$

1. Если $a>1$, то $d^{\mathrm{\prime }}(a)>0$, то есть функция возрастает.
2. Если $a<1$, то $d^{\mathrm{\prime }}(a)<0$, то есть функция убывает.

Следовательно, точка $a=1$ является точкой минимума.

Шаг 7: Найдём значение $b$

Из уравнения $b=a^2$ для $a=1$ находим ординату искомой точки:

$$b=1^2=1.$$

Шаг 8: Ответ

Таким образом, точка на графике функции, которая находится на минимальном расстоянии от точки $A(2;\frac{1}{2})$, имеет координаты $(1;1)$.

Ответ: $(1;1)$.