ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1516 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$$f(x) = 2\ln^3 x — 9\ln^2 x + 12\ln x$$

на отрезке $\left[e^{\frac{8}{4}}; e^{3}\right]$.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $\left[e^{\frac{3}{4}}; e^{3}\right]$:

$$f(x) = 2\ln^3 x — 9\ln^2 x + 12\ln x;$$

Производная функции:

$$f'(x) = 2(\ln^3 x)’ — 9(\ln^2 x)’ + (12\ln x)’;$$ $$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 3\ln^2 x — 9 \cdot \frac{1}{x} \cdot 2\ln x + 12 \cdot \frac{1}{x};$$ $$f'(x) = \frac{6}{x} \cdot (\ln^2 x — 3\ln x + 2);$$

Стационарные точки:

$$\ln^2 x — 3\ln x + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$$ $$\ln x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \text{ и } \ln x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$ $$x_1 = e^1 \text{ и } x_2 = e^2;$$

Значения функции:

$$f\left(e^{\frac{3}{4}}\right) = 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 — 9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54 — 324 + 576}{64} = \frac{306}{64} = 4 \frac{25}{32};$$ $$f(e^1) = 2 \cdot 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 = 2 — 9 + 12 = 5;$$ $$f(e^2) = 2 \cdot 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 = 16 — 36 + 24 = 4;$$ $$f(e^3) = 2 \cdot 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 = 54 — 81 + 36 = 9;$$

Ответ: $y_{\min} = 4;$ $y_{\max} = 9.$

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $\left[e^{\frac{3}{4}}; e^{3}\right]$, где функция задана как:

$$f(x) = 2\ln^3 x — 9\ln^2 x + 12\ln x.$$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нам нужно использовать производную функции, так как она поможет найти критические точки (точки, где производная равна нулю).

Применим правило дифференцирования для каждого члена функции.

1. Производная от $2\ln^3 x$

Для того чтобы найти производную от $2\ln^3 x$, используем цепное правило. Это выражение является функцией от $\ln x$, а производная от $\ln x$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$:

$$\frac{d}{dx} \left( 2\ln^3 x \right) = 2 \cdot 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6 \ln^2 x}{x}.$$

2. Производная от $-9\ln^2 x$

Теперь найдём производную от $-9\ln^2 x$ с помощью цепного правила:

$$\frac{d}{dx} \left( -9\ln^2 x \right) = -9 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{-18\ln x}{x}.$$

3. Производная от $12\ln x$

Для $12\ln x$ просто применяем стандартное правило:

$$\frac{d}{dx} \left( 12\ln x \right) = \frac{12}{x}.$$

4. Производная от константы

Производная от константы равна нулю, так что от термина, не имеющего $x$, производная будет $0$.

Теперь, объединяя все найденные производные, получаем полную производную функции:

$$f'(x) = \frac{6\ln^2 x}{x} — \frac{18\ln x}{x} + \frac{12}{x}.$$

Можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$:

$$f'(x) = \frac{1}{x} \left( 6\ln^2 x — 18\ln x + 12 \right).$$

Шаг 2: Находим стационарные точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{x} \left( 6\ln^2 x — 18\ln x + 12 \right) = 0.$$

Поскольку $\frac{1}{x} \neq 0$ для всех $x \neq 0$, то уравнение сводится к:

$$6\ln^2 x — 18\ln x + 12 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для упрощения разделим обе стороны на 6:

$$\ln^2 x — 3\ln x + 2 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $\ln x$, и его можно решить с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$\ln x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \ln x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Теперь найдём $x$ из $\ln x$:

$$x_1 = e^1 = e \quad \text{и} \quad x_2 = e^2.$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x = e$ и $x = e^2$.

Шаг 3: Проверка значений функции в границах отрезка

Необходимо вычислить значения функции в границах отрезка и в стационарных точках, а затем сравнить их, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

1. Значение функции в точке $x = e^{\frac{3}{4}}$

Подставим $x = e^{\frac{3}{4}}$ в исходную функцию:

$$f\left(e^{\frac{3}{4}}\right) = 2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^3 — 9 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 + 12 \cdot \frac{3}{4}.$$

Выполним вычисления:

$$f\left(e^{\frac{3}{4}}\right) = 2 \cdot \frac{27}{64} — 9 \cdot \frac{9}{16} + 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{64} — \frac{81}{16} + 9.$$

Считаем:

$$f\left(e^{\frac{3}{4}}\right) = \frac{54}{64} — \frac{324}{64} + \frac{576}{64} = \frac{306}{64} = 4 \frac{25}{32}.$$

2. Значение функции в точке $x = e^1$

Подставим $x = e$:

$$f(e) = 2 \cdot 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 = 2 — 9 + 12 = 5.$$

3. Значение функции в точке $x = e^2$

Подставим $x = e^2$:

$$f(e^2) = 2 \cdot 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 = 16 — 36 + 24 = 4.$$

4. Значение функции в точке $x = e^3$

Подставим $x = e^3$:

$$f(e^3) = 2 \cdot 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 = 54 — 81 + 36 = 9.$$

Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значения

Теперь, имея все значения функции:

• $f\left(e^{\frac{3}{4}}\right) = 4 \frac{25}{32} \approx 4.78$,
• $f(e) = 5$,
• $f(e^2) = 4$,
• $f(e^3) = 9$.

Наибольшее значение функции $y_{\text{max}} = 9$, наименьшее значение $y_{\text{min}} = 4$.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $\left[e^{\frac{3}{4}}; e^{3}\right]$ равно 9, а наименьшее — 4.

$$y_{\min} = 4, \quad y_{\max} = 9.$$