ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1514 Алимов — Подробные Ответы

Для функции f (х) = х^-2 + cos х найти первообразную, график которой проходит через точку М (0,5пи;-2/пи).

Дана функция:

$$f(x) = x^{-2} + \cos x;$$

Все первообразные функции:

$$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + \sin x = -\frac{1}{x} + \sin x + C;$$

Проходящая через точку $M \left( 0,5\pi; -\frac{2}{\pi} \right)$:

$$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + C;$$ $$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C;$$ $$0 = 1 + C, \text{ отсюда } C = -1;$$

Ответ:

$$F(x) = \sin x — \frac{1}{x} — 1.$$

Дано:

• Функция $f(x) = x^{-2} + \cos x$.
• Необходимо найти все первообразные функции $F(x)$ и найти такую, которая проходит через точку $M \left( 0,5\pi; -\frac{2}{\pi} \right)$.

Шаг 1: Находим первообразную функции $f(x)$

Для нахождения первообразной функции воспользуемся основными правилами интегрирования:

$$f(x) = x^{-2} + \cos x$$

Каждое слагаемое интегрируем по отдельности.

Первообразная для $x^{-2}$:

$$\int x^{-2} dx = \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}.$$

Это стандартное правило для функции вида $x^n$, где $n \neq -1$.

Первообразная для $\cos x$:

$$\int \cos x \, dx = \sin x.$$

Это также стандартная первообразная.

Итак, первообразная функции $f(x)$ будет:

$$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 2: Используем условие о точке

Теперь нам необходимо найти константу $C$, используя информацию, что функция проходит через точку $M \left( 0,5\pi; -\frac{2}{\pi} \right)$.

Подставим координаты этой точки в выражение для первообразной:

$$F \left( 0,5\pi \right) = -\frac{2}{\pi}.$$

Для этого подставим $x = 0,5\pi$ в $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$:

$$F \left( 0,5\pi \right) = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + C.$$

Вычислим каждую из частей:

1. $\frac{1}{0,5\pi} = \frac{2}{\pi}$,
2. $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$.

Таким образом, уравнение для $F \left( 0,5\pi \right)$ принимает вид:

$$-\frac{2}{\pi} + 1 + C = -\frac{2}{\pi}.$$

Теперь решим это уравнение относительно $C$:

$$1 + C = 0.$$

Отсюда:

$$C = -1.$$

Шаг 3: Записываем окончательную форму первообразной

Теперь, зная значение $C = -1$, можем записать полную первообразную функции $f(x)$:

$$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x — 1.$$

Ответ

Первообразная функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, которая проходит через точку $M \left( 0,5\pi; -\frac{2}{\pi} \right)$, имеет вид:

$$F(x) = \sin x — \frac{1}{x} — 1.$$