ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1513 Алимов — Подробные Ответы

В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 2 корень 3. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Пусть $x$ и $y$ — сторона основания и высота призмы;

Диагональ призмы равна $2\sqrt{3}$, значит:

$$d = \sqrt{x^2 + h^2} = 2\sqrt{3};$$ $$\sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{12};$$ $$x^2 + h^2 = 12;$$ $$x^2 = 12 — h^2;$$

Объем призмы:

$$V(h) = S \cdot h = x^2 \cdot h = (12 — h^2) \cdot h = 12h — h^3;$$

Производная функции:

$$V'(h) = (12h)’ — (h^3)’ = 12 — 3h^2;$$

Промежуток возрастания:

$$12 — 3h^2 > 0;$$ $$4 — h^2 > 0;$$ $$h^2 < 4;$$ $$-2 < h < 2;$$

Искомые значения:

$$h = 2 \text{ — точка максимума};$$

Ответ: $2$.

Нам даны следующие условия:

• $x$ — сторона основания призмы;
• $h$ — высота призмы;
• Диагональ призмы равна $2\sqrt{3}$.

Цель: найти значение высоты призмы $h$, при котором объем призмы будет максимален.

Шаг 1: Извлечение информации из диагонали

Диагональ призмы $d$ вычисляется по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника, где катеты — это сторона основания $x$ и высота $h$. Таким образом, диагональ призмы $d$ равна:

$$d = \sqrt{x^2 + h^2}.$$

Нам известно, что диагональ равна $2\sqrt{3}$, следовательно:

$$\sqrt{x^2 + h^2} = 2\sqrt{3}.$$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$x^2 + h^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12.$$

Таким образом, получаем связь между $x$ и $h$:

$$x^2 + h^2 = 12.$$

Решение для $x^2$:

$$x^2 = 12 — h^2.$$

Шаг 2: Формула объема призмы

Объем призмы $V$ выражается как произведение площади основания $S$ на высоту $h$. Так как основание является квадратом со стороной $x$, то площадь основания $S = x^2$. Следовательно, объем призмы будет равен:

$$V(h) = S \cdot h = x^2 \cdot h.$$

Подставим $x^2 = 12 — h^2$:

$$V(h) = (12 — h^2) \cdot h = 12h — h^3.$$

Таким образом, объем призмы зависит от высоты $h$, и его функция имеет вид:

$$V(h) = 12h — h^3.$$

Шаг 3: Нахождение производной объема

Для нахождения максимума объема найдем производную функции объема $V(h)$:

$$V'(h) = \frac{d}{dh} (12h — h^3).$$

Рассчитаем производную для каждого слагаемого:

$$V'(h) = (12h)’ — (h^3)’ = 12 — 3h^2.$$

Шаг 4: Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, при которых объем может быть максимальным или минимальным, приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$12 — 3h^2 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$3h^2 = 12,$$ $$h^2 = 4,$$ $$h = 2 \text{ или } h = -2.$$

Так как высота $h$ не может быть отрицательной, то оставляем $h = 2$.

Шаг 5: Проверка, что это максимум

Чтобы убедиться, что при $h = 2$ объем действительно максимален, проверим знак производной на интервале. Нам нужно исследовать, на каких интервалах функция $V(h)$ возрастает и убывает.

Пусть:

$$V'(h) = 12 — 3h^2.$$

Найдем, где производная положительна или отрицательна. Для этого решим неравенство:

$$12 — 3h^2 > 0.$$

Решаем:

$$3h^2 < 12,$$ $$h^2 < 4,$$ $$-2 < h < 2.$$

Таким образом, функция $V(h)$ возрастает на интервале $(-2, 2)$ и убывает на интервале $(2, \infty)$. Так как в точке $h = 2$ функция меняет знак с положительного на отрицательное, то это точка максимума.

Ответ

Таким образом, максимальный объем будет при $h = 2$.

Ответ: $h = 2$.