ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1512 Алимов — Подробные Ответы

В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что SO + АС = 9 и 1 < =АС < =8.

Пусть $AB = BC = AC = x$ и $SO = h$, тогда:
$x + h = SO + AC = 9, \text{ отсюда } h = 9 — x;$
$1 \leq x \leq 8;$

Объем пирамиды:
$V(x) = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (9 — x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot (9x^2 — x^3);$

Производная функции:
$V'(x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot (9(x^2)’ — (x^3)’);$
$V'(x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot (9 \cdot 2x — 3x^2) = \frac{3\sqrt{3}}{12} \cdot (6x — x^2);$

Промежуток возрастания:
$6x — x^2 > 0;$
$x \cdot (6 — x) > 0;$
$x \cdot (x — 6) < 0;$
$0 < x < 6;$

Искомые значения:
$x = 6 \text{ — точка максимума; }$

Ответ: 6.

В правильной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ проведена высота $SO$. Нужно найти сторону основания пирамиды, если объем пирамиды является наибольшим при условии, что $SO + AC = 9$ и $1 \leq AC \leq 8$.

Разбор задачи:

• $SABC$ — правильная пирамида, то есть все ребра основания равны, а также высота $SO$ перпендикулярна основанию $ABC$.
• Пусть $x$ — длина стороны основания $AC$, тогда $AB = BC = AC = x$.
• $O$ — проекция вершины $S$ на основание $ABC$, то есть точка, где высота пересекает основание.
• $SO = h$ — высота пирамиды, которая зависит от $x$, так как $SO + AC = 9$.
• Нужно найти такую длину $x$, при которой объем пирамиды будет наибольшим.

Шаг 1: Формулы для объема пирамиды

Площадь основания: так как основание является правильным треугольником, то площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади правильного треугольника:

$$S_{осн} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4}.$$

Объем пирамиды: объем пирамиды вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} h.$$

Подставим выражение для площади основания:

$$V(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot x^2 \cdot h.$$

Теперь выразим $h$ через $x$, используя условие $SO + AC = 9$, то есть:

$$h = 9 — x.$$

Таким образом, объем пирамиды как функция от радиуса $x$ будет:

$$V(x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot x^2 \cdot (9 — x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot (9x^2 — x^3).$$

Шаг 2: Нахождение максимума объема

Чтобы найти радиус основания $x$, при котором объем будет максимальным, необходимо найти производную объема $V(x)$, приравнять её к нулю и решить для $x$.

Производная объема:

$$V'(x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \left( 9 \cdot 2x — 3x^2 \right) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot (18x — 3x^2).$$

Упростим:

$$V'(x) = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 3x (6 — x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x (6 — x).$$

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x (6 — x) = 0.$$

Это уравнение равно нулю при $x = 0$ или $x = 6$. Поскольку $x = 0$ не имеет смысла (радиус основания не может быть равен нулю), оставляем $x = 6$.

Шаг 3: Проверка максимума

Чтобы удостовериться, что в точке $x = 6$ действительно достигается максимум, нужно проверить знак второй производной.

Вторая производная объема:

$$V»(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x (6 — x) \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( 6 — 2x \right).$$

Подставляем $x = 6$:

$$V»(6) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6 — 12) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (-6) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $V»(6) < 0$, это означает, что в точке $x = 6$ находится максимум объема.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором объем будет наибольшим, равен $x = 6$ см.

Ответ: $x = 6$ см.