ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1511 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 54пи см2, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.

Пусть $r$ и $h$ см — радиус основания и высота цилиндра;

Площадь полной поверхности цилиндра равна $54\pi$ см², значит:

$$S = (2 \cdot \pi r^2) + (2 \pi r \cdot h);$$ $$2 \pi r h = S — 2 \pi r^2;$$ $$h = \frac{S — 2 \pi r^2}{2 \pi r} = \frac{54\pi — 2 \pi r^2}{2 \pi r} = \frac{27 — r^2}{r};$$

Объем цилиндра:

$$V(r) = \pi r^2 \cdot h = \pi r^2 \cdot \frac{27 — r^2}{r} = \pi r \cdot (27 — r^2) = 27 \pi r — \pi r^3;$$

Производная функции:

$$V'(r) = 27 \pi (r)’ — \pi (r^3)’ = 27 \pi — \pi \cdot 3 r^2 = 3 \pi \cdot (9 — r^2);$$

Промежуток возрастания:

$$9 — r^2 > 0;$$ $$r^2 < 9;$$ $$-3 < r < 3;$$

Искомые значения:

$$r = 3 \quad \text{— точка максимума};$$ $$V(3) = 27 \pi \cdot 3 — \pi \cdot 3^3 = 81 \pi — 27 \pi = 54 \pi \, (\text{см}^3);$$

Ответ: $54\pi$ см³.

Найти наибольший возможный объем цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см², если радиус основания цилиндра $r$ ограничен интервалом $2 \leq r \leq 4$ см.

Шаг 1: Формулы для объема и площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра:
Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух частей:

• Площадь двух кругов, составляющих основания цилиндра. Площадь одного основания равна $\pi r^2$, а двух оснований — $2\pi r^2$.
• Площадь боковой поверхности цилиндра. Она равна $2\pi r h$, где $h$ — высота цилиндра.

Таким образом, общая площадь поверхности цилиндра $S$ равна:

$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.$$

Дано, что площадь полной поверхности $S = 54\pi$, то есть:

$$2\pi r^2 + 2\pi r h = 54\pi.$$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$$r^2 + r h = 27.$$

Из этого уравнения выражаем высоту $h$:

$$r h = 27 — r^2 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{27 — r^2}{r}.$$

Объем цилиндра:
Объем цилиндра $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$$V = \pi r^2 h.$$

Подставляем выражение для $h$ из предыдущего шага:

$$V = \pi r^2 \cdot \frac{27 — r^2}{r} = \pi r \cdot (27 — r^2) = 27\pi r — \pi r^3.$$

Таким образом, объем цилиндра как функция от радиуса $r$ выражается так:

$$V(r) = 27\pi r — \pi r^3.$$

Шаг 2: Нахождение максимума объема

Теперь нужно найти радиус $r$, при котором объем цилиндра будет максимальным. Для этого находим производную объема $V'(r)$ и приравниваем её к нулю.

Производная объема:

$$V'(r) = \frac{d}{dr} \left( 27\pi r — \pi r^3 \right) = 27\pi — 3\pi r^2.$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$27\pi — 3\pi r^2 = 0.$$

Разделим обе части уравнения на $3\pi$:

$$9 — r^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad r = 3.$$

Поскольку радиус не может быть отрицательным, принимаем $r = 3$.

Шаг 3: Проверка на максимум

Для проверки того, что $r = 3$ действительно дает максимум объема, найдем вторую производную объема $V»(r)$.

Вторая производная объема:

$$V»(r) = \frac{d}{dr} \left( 27\pi — 3\pi r^2 \right) = -6\pi r.$$

Подставляем $r = 3$:

$$V»(3) = -6\pi \cdot 3 = -18\pi.$$

Поскольку $V»(3) < 0$, это означает, что в точке $r = 3$ достигается максимум объема.

Шаг 4: Проверка границ

Так как радиус $r$ ограничен интервалом $[2, 4]$, необходимо также проверить значение объема в границах интервала: при $r = 2$ и $r = 4$.

• Объем при $r = 2$:

  $$V(2) = 27\pi \cdot 2 — \pi \cdot 2^3 = 54\pi — 8\pi = 46\pi.$$

• Объем при $r = 4$:

  $$V(4) = 27\pi \cdot 4 — \pi \cdot 4^3 = 108\pi — 64\pi = 44\pi.$$

Шаг 5: Наибольшее значение объема

Из всех вычисленных значений объема (в точке $r = 3$, $r = 2$ и $r = 4$), максимальный объем будет при $r = 3$, так как:

$$V(3) = 27\pi \cdot 3 — \pi \cdot 3^3 = 81\pi — 27\pi = 54\pi.$$

Ответ:

Наибольший возможный объем цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см², при радиусе основания от 2 см до 4 см, равен:

$$V_{\text{max}} = 54\pi \, \text{см}^3.$$