ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1510 Алимов — Подробные Ответы

Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Пусть $r$ и $h$ дм — радиус основания и высота цилиндра;

Периметр сечения цилиндра равен 6 дм, значит:
$p = 2 \cdot (2r + h) = 4r + 2h;$
$2h = p — 4r;$
$h = \frac{p — 4r}{2} = \frac{p}{2} — 2r = \frac{6}{2} — 2r = 3 — 2r;$

Объем цилиндра:
$V(r) = \pi r^2 \cdot h = \pi r^2 \cdot (3 — 2r) = 3\pi r^2 — 2\pi r^3;$

Производная функции:
$V'(r) = 3\pi (r^2)’ — 2\pi (r^3)’ = 3\pi \cdot 2r — 2\pi \cdot 3r^2 = 6\pi r — 6\pi r^2;$

Промежуток возрастания:
$6\pi r — 6\pi r^2 > 0;$
$r — r^2 > 0;$
$r \cdot (1 — r) > 0;$
$r \cdot (r — 1) < 0;$
$0 < r < 1;$

Искомые значения:
$r = 1 \text{ — точка максимума};$

Ответ: $1$ дм.

Найти радиус основания цилиндра, при котором его объем будет наибольшим, если периметр осевого сечения цилиндра равен 6 дм.

Разбор задачи:

Цилиндр имеет основание в виде круга с радиусом $r$ и высоту $h$. Периметр осевого сечения цилиндра (которое является прямоугольником, одна из сторон которого равна высоте $h$, а другая — длине окружности основания $2 \pi r$) равен 6 дм. Необходимо найти такой радиус $r$, при котором объем цилиндра будет максимальным.

Шаг 1: Периметр осевого сечения цилиндра

Периметр осевого сечения цилиндра $p$ (прямоугольника) состоит из двух длин: одна из которых — это высота $h$, а другая — это длина окружности основания $2\pi r$. Таким образом, периметр осевого сечения можно выразить через радиус $r$ и высоту $h$ следующим образом:

$$p = 2 \cdot (2r + h) = 4r + 2h.$$

Дано, что периметр сечения цилиндра равен 6 дм:

$$4r + 2h = 6.$$

Решим это уравнение относительно $h$:

$$2h = 6 — 4r \quad \Rightarrow \quad h = 3 — 2r.$$

Таким образом, высота цилиндра $h$ зависит от радиуса $r$ и равна:

$$h = 3 — 2r.$$

Шаг 2: Объем цилиндра

Объем цилиндра $V$ выражается через радиус основания $r$ и высоту $h$ как:

$$V(r) = \pi r^2 h.$$

Подставим выражение для $h$ в формулу для объема:

$$V(r) = \pi r^2 \cdot (3 — 2r) = 3\pi r^2 — 2\pi r^3.$$

Это и есть функция объема цилиндра через радиус основания $r$.

Шаг 3: Нахождение максимума объема

Для нахождения максимума объема $V(r)$ необходимо найти производную этой функции $V'(r)$ и приравнять её к нулю, чтобы найти стационарные точки.

Производная объема $V(r)$ по $r$ будет:

$$V'(r) = \frac{d}{dr} \left( 3\pi r^2 — 2\pi r^3 \right) = 6\pi r — 6\pi r^2.$$

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$$6\pi r — 6\pi r^2 = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$6\pi r (1 — r) = 0.$$

Это уравнение имеет два решения:

1. $r = 0$,
2. $r = 1$.

Мы выберем $r = 1$, так как $r = 0$ не имеет смысла для радиуса основания цилиндра.

Шаг 4: Проверка максимума

Для того чтобы удостовериться, что в точке $r = 1$ действительно достигается максимум объема, проверим знак второй производной функции $V»(r)$.

Вторая производная объема:

$$V»(r) = \frac{d}{dr} \left( 6\pi r — 6\pi r^2 \right) = 6\pi — 12\pi r.$$

Подставим $r = 1$:

$$V»(1) = 6\pi — 12\pi \cdot 1 = -6\pi.$$

Поскольку $V»(1) < 0$, это означает, что в точке $r = 1$ находится максимум объема.

Шаг 5: Ответ

Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором его объем будет наибольшим, равен:

$$r = 1 \text{ дм}.$$