ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1509 Алимов — Подробные Ответы

у — х (корень 1 — х2) на отрезке [0; 1].

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

$y = x \cdot \sqrt{1 — x^2}$

на отрезке $[0; 1]$.

Производная функции:

$y'(x) = (x)’ \cdot \sqrt{1 — x^2} + x \cdot (1 — x^2)^{\frac{1}{2}};$
$y'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 — x^2} + x \cdot (-2x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 — x^2)^{-\frac{1}{2}};$
$y'(x) = \sqrt{1 — x^2} — \frac{x^2}{\sqrt{1 — x^2}} = \frac{1 — x^2 — x^2}{\sqrt{1 — x^2}} = \frac{1 — 2x^2}{\sqrt{1 — x^2}};$

Стационарные точки:

$1 — 2x^2 = 0;$
$2x^2 = 1;$
$x^2 = \frac{1}{2};$
отсюда $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$;

Выражение имеет смысл при:

$1 — x^2 \geq 0;$
$x^2 \leq 1;$
$-1 \leq x \leq 1;$

Значения функции:

$y(0) = 0 \cdot \sqrt{1 — 0^2} = 0;$
$y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 — \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 — \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2};$
$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1 — 1^2} = 1 \cdot \sqrt{1 — 1} = 1 \cdot \sqrt{0} = 0;$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0; \quad y_{\text{max}} = 0.5.$

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

$$y = x \cdot \sqrt{1 — x^2}$$

на отрезке $[0; 1]$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно сначала найти её производную. Производная функции покажет, где функция имеет экстремумы (максимумы и минимумы).

Функция $y = x \cdot \sqrt{1 — x^2}$ является произведением двух функций: $f(x) = x$ и $g(x) = \sqrt{1 — x^2}$. Чтобы найти производную от произведения двух функций, используем правило произведения:

$$\frac{d}{dx} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

В нашем случае:

• $f(x) = x$,
• $g(x) = \sqrt{1 — x^2}$.

1.1. Производная от $f(x) = x$

Производная от $f(x) = x$ по $x$ равна:

$$f'(x) = 1.$$

1.2. Производная от $g(x) = \sqrt{1 — x^2}$

Для нахождения производной от $g(x) = \sqrt{1 — x^2}$, воспользуемся цепным правилом. Производная от $\sqrt{1 — x^2}$ по $x$ будет:

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 — x^2)^{1/2} \right) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 — x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

1.3. Составим полную производную

Теперь подставим все в формулу для производной:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 — x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Упростим выражение:

$$y'(x) = \sqrt{1 — x^2} — \frac{x^2}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$y'(x) = \frac{(1 — x^2) — x^2}{\sqrt{1 — x^2}} = \frac{1 — 2x^2}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Шаг 2: Найдем стационарные точки

Стационарные точки — это такие значения $x$, при которых производная функции $y'(x) = 0$.

Решим уравнение:

$$\frac{1 — 2x^2}{\sqrt{1 — x^2}} = 0.$$

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю (так как знаменатель всегда положителен):

$$1 — 2x^2 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$2x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Поскольку $x$ должно лежать на отрезке $[0; 1]$, то принимаем только положительный корень:

$$x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 3: Исследуем область определения функции

Для функции $y = x \cdot \sqrt{1 — x^2}$ выражение под корнем $1 — x^2$ должно быть неотрицательным. То есть:

$$1 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x \leq 1.$$

Так как нас интересует отрезок $[0; 1]$, то функция определена на этом отрезке.

Шаг 4: Вычисление значений функции

Теперь найдем значения функции в крайних точках отрезка $[0; 1]$ и в стационарной точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4.1. Значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = 0 \cdot \sqrt{1 — 0^2} = 0.$$

4.2. Значение функции в точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

Подставим $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ в выражение для функции:

$$y\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 — \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}.$$

4.3. Значение функции в точке $x = 1$:

$$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1 — 1^2} = 1 \cdot \sqrt{0} = 0.$$

Шаг 5: Наибольшее и наименьшее значение функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$, сравним значения функции:

• $y(0) = 0$,
• $y\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}$,
• $y(1) = 0$.

Таким образом:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = 0$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = \frac{1}{2}$.

Ответ:

$$y_{\text{min}}=0,y_{\text{max}}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$