ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1508 Алимов — Подробные Ответы

у = sin х + 2 (корень 2) cosx на отрезке [0;пи/2]

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

$y = \sin x + 2\sqrt{2} \cdot \cos x$

на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Производная функции:

$y'(x) = (\sin x)’ + 2\sqrt{2} \cdot (\cos x)’ = \cos x — 2\sqrt{2} \cdot \sin x;$

Стационарные точки:

$\cos x — 2\sqrt{2} \cdot \sin x = 0 \quad | : \cos x;$
$1 — 2\sqrt{2} \cdot \tg x = 0;$
$2\sqrt{2} \cdot \tg x = 1;$
$\tg x = \frac{\sqrt{2}}{4};$

Значения синуса и косинуса:

$\cos(x) = \sqrt{\frac{1}{\tg^2 x + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{2}{16} + \frac{8}{8}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{8}}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3};$
$\sin(x) = \sqrt{1 — \cos^2(x)} = \sqrt{1 — \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} — \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3};$

Значения функции:

$y(0) = \sin 0 + 2\sqrt{2} \cdot \cos 0 = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2};$
$y(x) = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3;$
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + 2\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1;$

Ответ: $y_{\min} = 1; \, y_{\max} = 3.$

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

$$y = \sin x + 2\sqrt{2} \cdot \cos x$$

на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Шаг 1: Находим производную функции

Для начала найдем производную функции, так как для поиска экстремумов нам нужно исследовать знак производной.

Функция $y = \sin x + 2\sqrt{2} \cdot \cos x$ состоит из двух частей:

1. $\sin x$,
2. $2\sqrt{2} \cdot \cos x$.

Производная от этих выражений будет:

• Производная от $\sin x$ по $x$ равна $\cos x$,
• Производная от $2\sqrt{2} \cdot \cos x$ по $x$ равна $-2\sqrt{2} \cdot \sin x$ (по правилу дифференцирования для косинуса).

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

$$y'(x) = \cos x — 2\sqrt{2} \cdot \sin x.$$

Шаг 2: Найдем стационарные точки

Стационарные точки функции — это такие значения $x$, при которых производная функции $y'(x) = 0$.

Решим уравнение:

$$\cos x — 2\sqrt{2} \cdot \sin x = 0$$

Переносим все члены с $\sin x$ в одну сторону:

$$\cos x = 2\sqrt{2} \cdot \sin x.$$

Теперь делим обе части уравнения на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$1 = 2\sqrt{2} \cdot \tan x.$$

Далее решаем это уравнение для $\tan x$:

$$\tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Теперь, чтобы найти $x$, используем обратную функцию для тангенса:

$$x = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right).$$

Это значение $x$ — стационарная точка, которую мы обозначим как $x_0$. Этот корень лежит в пределах отрезка $[0; \frac{\pi}{2}]$, так как $\arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$ лежит в интервале от 0 до $\frac{\pi}{2}$.

Шаг 3: Значения синуса и косинуса для стационарной точки

Для нахождения значения функции в стационарной точке нужно найти значения синуса и косинуса для $x_0 = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$.

Используем тригонометрическую идентичность для косинуса через тангенс:

$$\cos x = \sqrt{\frac{1}{\tan^2 x + 1}}.$$

Подставляем $\tan x = \frac{\sqrt{2}}{4}$:

$$\cos x = \sqrt{\frac{1}{\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{2}{16} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{18}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{18}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Для нахождения значения синуса используем основную тригонометрическую тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Таким образом:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^2 = 1 — \frac{8}{9} = \frac{1}{9},$$ $$\sin x = \frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Значения функции в ключевых точках

Теперь, когда у нас есть информация о стационарной точке, давайте вычислим значения функции в ключевых точках: $x = 0$, $x = x_0$ (стоянарная точка), и $x = \frac{\pi}{2}$.

Значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = \sin 0 + 2\sqrt{2} \cdot \cos 0 = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}.$$

Значение функции в стационарной точке $x_0$:

Подставляем $\sin x_0 = \frac{1}{3}$ и $\cos x_0 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ в исходную функцию:

$$y(x_0) = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = 3.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} + 2\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1.$$

Шаг 5: Определение наибольшего и наименьшего значения функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, мы сравним значения функции в точках $x = 0$, $x_0$ и $x = \frac{\pi}{2}$:

• $y(0) = 2\sqrt{2} \approx 2.828$,
• $y(x_0) = 3$,
• $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$.

Из этого видно, что:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = 1$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 3$.

Ответ:

$$y_{\text{min}}=1,y_{\text{max}}=3.$$